- •Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- •Основные инструменты
- •Облигации
- •Контракты
- •Опционы
- •Основные измерители финансовых рынков
- •Доходность
- •Дисконтирование и приведенная стоимость
- •Риск в финансовых моделях
- •Статическая теория ценообразования (capm)
- •Линия рынка ценных бумаг
- •Общая функция полезности
- •Аддитивность приведенной стоимости
- •Оценка управленческих решений
- •Арбитражная теория ценообразования
- •Оптимальное инвестирование
- •Статическая оптимизация портфеля
- •Основные понятия и обозначения
- •Инструменты или активы
- •Торговые стратегии
- •Мартингалы и возможности арбитража
- •Совершенные рынки и цены опционов
- •Цены и хеджирование опционов
- •Цены и хеджирование европейского опциона
- •Цена американского опциона
- •Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- •Биномиальная модель с точки зрения лп
- •Основные обозначения и постановка задачи
- •Биномиальный случай
- •Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.
Основные измерители финансовых рынков
В основе теории финансовых рынков лежат два основных принципа, отлаженных более чем 5-ю веками банковской 1деятельности:
Сегодняшний рубль (доллар, йена, марка, манат, ...) ценнее завтрашнего,
Предполагаемый рубль (доллар, йена, марка, манат, ...) дешевле гарантированного.
Первый из этих принципов находит свое отражение в операциях вычисления доходностей и дисконтирования.
Subsections
Доходность
Дисконтирование и приведенная стоимость
Риск в финансовых моделях
Доходность
Отношение завтрашнего дохода, который можно извлечь из определенного капитала, к его сегодняшней стоимости определяет ставку дохода (rate of return):
|
(1) |
где -- сегодняшняя номинальная стоимость, -- завтрашняя номинальная стоимость какого-либо актива, -- ставка дохода.
Вычисления (1) относятся к определенному интервалу времени, ''завтра'' традиционно означает в финансовых расчетах год, а -- годовую ставку дохода. Доходность типично измеряется в процентах годового прироста, т.е. . Таким образом 5% годовых означают .
В различных кредитных операциях обычно оговаривают доходность, которая, однако, может вычисляться по различным правилам.
В краткосрочных сделках используется, как правило, формула простых процентов, аналогичная (1): где -- возвращаемая сумма, -- занимаемая, а -- процент по кредиту или, что равносильно, доходность для кредитующей организации 2. Если сделка заключается на срок до года, , где -- ''годовая'' ставка доходности, -- срок в днях, на который выдается кредит, а -- продолжительность банковского года. То и другое может отличаться от астрономического или солнечного времени: чтобы не усложнять себе жизнь, банкиры часто считают, что в месяце 30 дней, а в году -- 360.
В долгосрочных сделках, а также при аналитических расчетах чаще используется формула сложных процентов:
|
(2) |
где -- число периодов, к каждому из которых относят доходность . Эта формула особенно важна при анализе финансовых потоков, поступающих в финансовый инстутут и реинвестируемых в другие проекты, или используемых для выдачи иных кредитов. При -кратном использовании первоначального капитала с накапливающимися при каждой операции простыми процентами, итоговый доход будет равен (2). 3
В реальных расчетах применяются и комбинированные схемы, когда, скажем, за целое число лет вычисляют сложные проценты, а за неполный год расчет производят по формулам простых процентов. При этом формула для вычисления ставки доходности принимает вид:
|
(3) |
где -- наибольшее целое число, не превосходящее , -- момент времени ( в днях, от некоторого начального момента ), на который расчитывается доходность, -- продолжительность года ( в днях ), -- годовая ставка доходности. Формула (3) дает завышенные результаты по сравнению с ''простой'' формулой сложных процентов . Разница 4 в доходности представлена на рис. 1.2.1.
|
Figure: Разность доходностей между коминированной схемой начисдения процентов и формулой сложных процентов при нормативной годовой доходности 20%. По оси абсцисс отложены дни, по оси ординат -- разность доходностей в процентах. |
Подробное обсуждение различных схем вычисления доходностей можно найти, например, в [6].
Вводя в формулу (1) явным образом время, ее можно переписать как
или, переходя к пределу по ,
|
(4) |
Выражение справа определяет для капитала так называемую ''мгновенную'' доходность (force of interest), часто использумую как некоторый первичный фактор в финансовых моделях с непрерывным временем.
Считая левую часть уравнения (4) заданной как некоторую функцию времени и интегрируя его от до некоторого , получаем
что дает при постоянной ''мгновенной'' доходности выражение для средней доходности за период :
|
(5) |
При малых это соотношение дает результаты, близкие к формуле простых процентов. С другой стороны, полагая в (5) ( один год ) получаем обратное соотношение для эквивалентной мгновенной доходности .