Билет 3 . Уравнение Шредингера.

Электроны являются заряженными частицами. И при своём движении по твёрдому телу встречаются с другими электронами. И так как между электронами действуют силы отталкивания, то движение электрона оказывается зависимым от движения другого электрона. Поэтому для определения стационарных состояний и энергетического спектра совокупности большого числа атомных ядер и электронов в кристалле нужно решить уравнение Шрёдингера. , где -гамильтониан кристалла, Ф – его волновая функция, а эпсилон – энергия кристалла. Гамильтониан включает в себя: оператор кинетической энергии электронов, оператор кинетической энергии ядер, потенциальную энергию взаимодействия электронов и ядер между собой, а так же потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядрами.

Таким образом, уравнение Шредингера:

(

))Ф= Ф

Билет 4. Эффективная масса носителей

заряда.

Допустим, что свободный электрон с массой находиться в однородном электрическом поле с напряжённостью . На электрон будет действовать сила , под воздействием которой электрон получает ускорение , направленное так же, как и внешняя сила, т.е. против поля с напряженностью .

Тензор эффективной массы — термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса. По определению эффективную массу находят из закона дисперсии где — волновой вектор.

Билет 5. Циклотронный резонанс.

Существует несколько экспериментальных методов определения эффективной массы носителей заряда. Одним из них является метод циклотронного резонанса. В этом случае полупроводник помещают в постоянное магнитное поле с индукцией B=const. На электрон, движущийся со скоростью v будет действовать сила Лоренца:

F = -e [vB]. Под действием этой силы электрон будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Круговая частота вращения (нижний индекс “с”), которая носит название циклотронной, определяется из равенства центробежной силы и силы Лоренца mv²/r = evB. И выражается формулой (Верхний индекс * (звёздочка) ). Отсюда следует, что циклотронная частота не зависит от скорости и радиуса окружности. Если теперь с полупроводнике создать слабое высокочастотное электрическое поле, колеблющееся в плоскости, перпендикулярной В, то при приближении частоты поля к электрон будет сильно поглощать энергию электромагнитного поля. Это явление резонансного поглощения принято называть циклотронным резонансом.

Билет 6. Плотность квантовых состояний. Степень заполнения примесных уровней Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь в концентрации N_d Донор, удерживающий электрон, электрически нейтрален. Это соответствует, например, случаю, когда один из узлов кристаллической решетки кремния занят атомом мышьяка. При этом пятый валентный электрон атома донорной примеси не принимает участия в ковалентной связи и ему соответствует энер­гетический уровень, расположенный ниже дна зоны проводимости на величину Еd (рис. 4.3, а).

Поскольку у донорной примеси имеется только один электрон, который может принимать участие в проводимости, то полное число состояний для донорной примеси должно быть разно количеству атомов введенной примеси на единицу объема кристалла, т. е. равно N_d.

Предположим, что концентрация электронов, находящихся на уровне донорной примеси, равна n_d В этом случае концентрация ионизованных донорных атомов p_d, образовавшихся в результате тепловых переходов электронов с донорных уровней в зону прово­димости и Имеющих положительный заряд, составит P_d = N_d-n_d. (4.31)

Если бы на примесном донорном уровне согласно принципу Паули могли расположиться два электрона с антипараллельными спинами, то вероятность его заполнения определялась бы функцией Ферми- Дирака (4.28), в которой вместо Е следовало поставить

Еd — энергию электрона на уровне примеси. Но на уровне E_d может быть только один электрон, который может быть захвачен двояким образом в зависимости от направления спина. Следовательно, ней­тральное состояние донорной примеси имеет вдвое больший ста­тистический вес по сравнению с ионизованным состоянием. Так как при отсутствии электрона на уровне донорной примеси вероят­ность такого состояния равна 1, то исходя из принципа Больцмана, можно написать:

откуда следует, что концентрация электронов, находящихся на уровнях донорной примеси, равна: , а концентрация положительных ионов донорной примеси будет выражаться соотношением вида Предэкспоненциальный множитель можно записать через g^-1. Тогда вероятность нахождения электрона на донорном уровне с энергией E_d будет определяться выражением

Билет 7. Уровень Ферми. Распределение Ферми-Дирака.

Для определения числя частиц, имеющих энергию в заданном интервале, помимо плотности квантовых состоянии N(E) необ­ходимо знать вероятность того, что данное состояние с энергией Е занято частицей, т. е. нужно знать функцию распределения f (E). В условиях теплового равновесия для частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, справедливо распределение Ферми— Дирака

Билет 8. Концентрация электронов и дырок.

Рассмотрим процесс образования свободных носителей заряда под воздействием теплоты в примесном полупроводнике, например в донорном.

При температуре абсолютного нуля электроны занимают состояния с минимальными значениями энергии. Другим словом, при Т=0 К все состояния донорной примеси и в валентной зоне заняты электронами, поэтому в зоне проводимости электронов нет. При повышении температуры будет происходить отрыв электронов от донорной примеси и разрыв ковалентных связей основного вещества, вследствие чего появятся свободные электроны и дырки. Свободные носители заряда, возникающие в результате теплового возбуждения и находящиеся с решеткой в термодинамическом равновесии, называют равновесными или тепловыми, а процесс их образования называется тепловой генерацией или ионизацией. В случае акцепторного проводника всё наоборот. Итак, чтобы подсчитать количество электронов и дырок, можно воспользоваться формулами, полученными после некоторых более ранних преобразований на базе формулы (количество электронов, энергия которых лежит в интервале от Е1 до Е2), а именно:

Билет 9. Условие вырождения примесного полупроводника (интергал Ферми-Дирака в примесном полупроводнике).

Уровень Ферми лежит в запрещенной зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на kT. В этом случае для электронов, находящихся в зоне проводимости и обладающих энергией , в функции распределения Ферми-Дирака экспоненциальный член будет намного больше единицы, а потому ею можно пренебречь, т.е Откуда следует, что в невырожденном донорном полупроводнике носители заряда подчиняются статистике Больцмана. В соответствии с этим интеграл выглядит так

Билет 10. Невырожденные примесные полупроводники.

Примесный – п/п, электрофизические свойства которого в основном определяются примесями. Атомы примесей в п/п создают дополнительные энергетические уровни в пределах запрещённой зоны. При небольшой концентрации примесей их атомы расположены в п/п на таких больших расстояниях друг от друга, что не взаимодействуют между собой. Поэтому нет расщепления примесных уровней и вероятность непосредственного перехода электронов от одного примесного атома к другому ничтожно мала, т.е. с точки зрения зонной теории ничтожно мала вероятность перехода электрона с одного дискретного примесного уровня на другой. Донор - это примесный атом или дефект кристаллической решётки, создающий в запрещенной зоне вблизи "дна" зоны проводимости энергетический уровень, занятый в невозбуждённом состоянии электроном и способный в возбуждённом состоянии при тепловом возбуждении отдать электрон в зону проводимости. Акцептор - это примесный атом или дефект кристаллической решётки, создающий в запрещённой зоне вблизи "потолка" валентной зоны энергетический уровень, свободный от электрона в невозбуждённом состоянии и способный захватить электрон из валентной зоны благодаря тепловому возбуждению. Носители заряда, концентрация которых в данном полупроводнике больше, называют основными, а носители, концентрация которых меньше, - не основными. Так, в полупроводнике n-типа электроны - основные носители, дырки - не основные. И наоборот.При изменении концентрации примесей в полупроводнике изменяется положение уровня Ферми и концентрация носителей заряда обоих знаков. Найдём произведение концентраций электронов и дырок в невырожденном полупроводнике при заданной температуре в условиях термодинамического равновесия.

Учитывая полученные ранее соотношения:

где n_i - собственная концентрация носителей заряда при заданной температуре.

Т. о, в невырожденном полупроводнике произведение концентраций свободных электронов и дырок при термодинамическом равновесии есть постоянная величина, равная квадрату собственной концентрации при данной температуре. Физически это означает, что если, например, в полупроводнике n-типа увеличить концентрацию доноров, то возрастёт число электронов, переходящих в единицу времени с примесных уровней в зону проводимости. Соответственно возрастает скорость рекомбинации носителей заряда и уменьшится равновесная концентрация дырок.

Это соотношение справедливо для невырожденного полупроводника, т.е. для полупроводника у которого уровень Ферми расположен в запрещённой зоне достаточно далеко (на 2-3 kT) от дна зоны проводимости (вниз) или от потолка валентной зоны (вверх), т.к. только при этих условиях можно пользоваться функцией распределения Максвелла-Больцмана. Если у полупроводника n>>()N_C (или p>>()N_B), то это вырожденный п/п.