26. Теорема о математическом ожидании биномиального закона распределения

Чему равно среднее число появле­ний А в n независимых испытаниях? Теорема. М(Х) числа по­явлений А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M(X)=np. Доказательство. Пусть случайная величина Х - число наступления А в n испытаниях. Очевидно, число Х появ­лений А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому, если X₁ – число появлений события в 1м испытании, Х₂ – во 2м, …Х_n – в «n» - м, то общее число появления события Х = X₁ + Х₂ + …. + Х_n. По 3му свойству МОЖ, М(Х)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_n). Каждое из слагаемых правой части равенства есть МОЖ числа появлений события в 1м испытании. Т.к. МОЖ числа появ­лений события в 1м испытании равно вероятности события p, то М(Х₁) = М(Х₂) =… = М(Х_n) = p. Подставляя в правую часть равенства вместо каждого слагаемого р, получим М(Х)=np.

Замечание. Т.к. величина Х распределена по биноми­альному закону, то доказанную теорему можно сформулировать так: МОЖ биномиального распределения с па­раметрами «n» и «р» равно произведению «nр».

26. Целесообразность введения рассеяния, отклонения…

Легко указать такие случайные величины, кото­рые имеют одинаковые МОЖ, но раз­личные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины Х и Y, заданные законами распределения:

Найдем МОЖ этих величин:

Здесь МОЖ одинаковы, а возможные значения различны. Т.о., зная лишь МОЖ, еще нельзя судить о том, какие возможные значения случайная величина может принимать и как они рас­сеяны вокруг МОЖ. Другими сло­вами, МОЖ полностью случайную величину не характеризует. Поэтому вводят др.числовые характеристики.

Пусть Х—случайная величина, М (X)—МОЖ. Рассм. в качестве новой случайной величины разность Х—М(Х). Отклонением называют разность между случайной ве­личиной и ее МОЖ. Закон распределения отклонения:

Х - М(Х) х₁ – М(Х) х₂ – М(Х) … х_n – М(Х)

Р р₁ р₂ … р_n

Теорема. МОЖ отклонения равно нулю: M[X-M(X)]=0. Доказательство. Пользуясь свойствами МОЖ (МОЖ разности равно разности МОЖ, МОЖ постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что М (X) — постоянная величина, имеем M[X-M(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X)-M(X) = 0.

Замечание. Наряду с термином «отклонение» используют термин «центрированная величина».

Центрированной случайной величиной Ӿ называют разность между случайной величиной и ее МОЖ:

Ӿ=Х-М(Х) Название «центрированная величина» связано с тем, что МОЖ - центр распределения.

26. Дисперсия

Н а практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее сред­него значения. Для этого целесообразно заменить возмож­ные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными ве­личинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т. е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и назы­вают дисперсией. Дисперсией дискретной случайной вели­чины называют МОЖ квадрата откло­нения случайной величины от ее МОЖ: D(X)=M[X-M(X)]². Пусть случайная величина задана законом распреде­ления

Т огда квадрат отклонения имеет

закон рас­пределения:

По определению дисперсии, D(X)=M[X-M(X)]² = [x₁-M(X)]²p₁+ [x₂-M(X)]²p₂+…+[x_n-M(X)]²p_n.

Т.о., для того чтобы найти дисперсию, до­статочно вычислить сумму произведений возможных зна­чений квадрата отклонения на их вероятности.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискрет­ной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Теорема. Дисперсия равна разности между МОЖ квадрата случайной величины Х и квадратом ее МОЖ: D(X)=M(X²)-[M(X)]². Доказательство. М(Х) – постоянная величина, значит, 2М(Х) и М²(Х) также постоянные величины. Приняв это во внима­ние и пользуясь свойствами МОЖ, упро­стим формулу: D(X) = M[X-M(X)]² = M[X²-2XM(X)+M²(X)] = M(X²)-2M²(X)+M²(X) = M(X²)-M²(X). Итак, D(X) = M(X²) – [M(X)]²

Замечание. Казалось бы, если Х и Y имеют одинаковые воз­можные значения и одно и то же МОЖ, то и дисперсии этих величин равны. Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые воз­можные значения рассматриваемых величин имеют различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями.