21. Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Если вероятность «р» наступления А в каждом испытании постоянна и ≠0 и ≠1, то вероятность P_n(k₁,k₂) того, что А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу P_n(k₁,k₂) ^/2 dz, где и .

При применении интеграль­ной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, т.к. неопределенный интеграл dz не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла Ф(х)= * dz. В таблице даны значения функции Ф(х) для значений х≥0; для х<0 пользуются той же таблицей, но т.к. функция нечетна, ставят знак “-“. В таблице приведены значения лишь до х=5, т.к. для х>5 можно принять Ф(х)=0,5. Функцию Ф(х) называют функцией Лапласа. Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, совершим преобразование: P_n(k₁,k₂) . Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от k₁ до k₂ раз P_n(k₁,k₂) где и .

Замечание. Обозначим через t число появлений А при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления А постоянна и равна р. Если число t изменяется от k₁ до k_2, то дробь изменяется от и . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать так: Р( ^/2 dz.

22. Понятие и разновидности случайных величин.

Случайная величина - которая в результате испытания примет 1о и только 1о возможное значе­ние, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены заранее. Пример. Число родившихся мальчиков среди ста новорожден­ных есть случайная величина. Случайные величины обозначают пропис­ными буквами X, Y, Z, а их возможные значения—соот­ветствующими строчными буквами х, у, z. Например, если случайная величина Х имеет три возможных значе­ния, то они будут обозначены так: х₁, х₂, х₃.

Дискретной (прерывной) называют случайную вели­чину, которая принимает отдельные, изолированные воз­можные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число значений непрерывной величины беско­нечно.

23. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналити­чески или графически. При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины 1я строка таблицы содержит возможные значения, а 2я—их вероятности:

Х	х1	х2	…	хn
р	p1	p2	…	pn

Приняв во внимание, что в 1м испытании случайная величина принимает 1о и только 1о возможное значение, можно сделать вывод о том, что события Х=х₁, Х=х₂,…Х=х_n образуют полную группу и сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей 2й строки таблицы, равна единице: р₁+р₂+…+р_n=1. Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд р₁+р₂+… сходится и его сумма =1.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в системе координат строят точки (Xi ,. Pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распре­деления.