26. Взаимосвязь функции и плотности распределения.

Зная плотность распределения f (x), можно найти функцию распределения F (x) по формуле . Действительно, мы обозначили через F (x) вероятность того, что случайная величина примет значение, мень­шее x. т. е. F(x)=P(X<x). Очевидно, неравенство Х<x можно записать в виде двойного неравенства следовательно, F(x)=P( . Полагая, что а=- , b=х, имеем P( = . Наконец заменив P( на F(x) получим . Т.о., зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно:

Вероятностный смысл: Пусть F (x)—функция распределения непрерыв­ной случайной величины X. По определению плотности распределения или . Как известно, разность определяет вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х; Т.о. предел отношения вероятности того, что непрерывная слу­чайная величина примет значение, принадлежащее интер­валу (х; к длине этого интервала при равен значению плотности распределения в точке x. Итак, функция f(х) определяет плотность распределе­ния вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, что при­ращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е. dF(x) или F’(x)dx. Т.к. F’(x)=f(x) и dx= , то f(x) . Вероятностный смысл этого равенства таков: вероят­ность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (х; приближённо равна произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала

Геометрически: вероятность того. что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (х, х+∆х ),приближенно равна площади прямоуголь­ника с основанием ∆х и вы­сотой f(x).