- •Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •Независимые и зависимые события, условная вероятность события
- •Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
- •Вероятность появления хотя бы одного независимого события из совокупности.
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Понятие и разновидности случайных величин.
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .
- •Биномиальный закон распределения .
- •25. Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Понятие и вероятностный смысл мож дискретной случайной величины
- •Вероятностный смысл мож и мож в 1м испытании
- •Свойства 1, 2
- •Теорема о математическом ожидании биномиального закона распределения
- •Целесообразность введения рассеяния, отклонения…
- •Дисперсия
- •Свойства 1,2 дисперсии
- •Свойства 3,4 дисперсии
- •Среднеквадратическое отклонение суммы независимых случайных величин.
- •Моменты распределения дискретных случайных величин
- •Коэффициент ассиметрии.
- •Теорема Чебышева.
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения
- •3 Свойство функции распределения
- •Взаимосвязь функции и плотности распределения.
Свойства 1,2 дисперсии
Свойство 1.: D(C)=0. Доказательство. По определению дисперсии, D(C)=M[C-M(C)2] Пользуясь свойством МОЖ (МОЖ постоянной равно самой постоянной), получим D(C)=M[(C-C)2]=M(0)=0. Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак D, возводя его в квадрат: D(CX)=C2D(X) Доказательство. По определению D имеем D(CX)=M{[CX-M(CX)]2}. Пользуясь 2м свойством МОЖ (постоянный множитель можно выносить за знак МОЖ), получим D(CX)=M{[CX-CM(X)]2} = M{C2[X-M(X)]2} = C2M{[X-M(X)]2}=C2D(X).
Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npq.
Свойства 3,4 дисперсии
Свойство 3. Дисперсия суммы 2х независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y}. Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем D(X+Y)= M[(X+Y)2] – [M(X+Y)] Раскрыв скобки и пользуясь свойствами МОЖ суммы нескольких величин и произведения 2х независимых случайных величин, получим
D(X+Y) = M[X2+2XY+Y2] - [M(X)+M(Y)]2 = M(X2)+2M(X)*M(Y)+M(Y2) - M2(X)-2M(X)*M(Y)-M2(Y) = {M(X2)-[M(X)]2} + {M(Y2)-[M(Y)]2} + {M(Y2)-[M(Y)]2} = D(X)+D(Y).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом мат. индукции.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины: D(C+X)=D(X) Доказательство. Величины С и Х независимы, поэтому, по 3у свойству, D(C+X)=D(C)+D(X) В силу первого свойства D (С) = 0. Следовательно, D(C+X)=D(X).
Свойство 4. Дисперсия разности 2х независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y) Доказательство. По 3му свойству D(X-Y)=D(X)+D(-Y), по 2му св-ву D(X-Y)=D(X)+(-1)2D(Y) или D(X-Y)=D(X)+D(Y).
Среднеквадратическое отклонение суммы независимых случайных величин.
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие характеристики. К их числу относится среднеквадратическое отклонение. СКО случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: σ(X)= Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Т.к. среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность σ(Х) совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию.
Теорема. СКО суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно кв.корню из суммы квадратов СКО этих величин: σ(Х1+…Хn)= Доказательство. Обозначим через Х сумму рассматриваемых взаимно независимых величин: Х=Х1+Х2+…Хn. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых поэтому D(X)= D(Х1)+D(Х2)+…+D(Хn) Отсюда или окончательно σ(X)=