14. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление А не изменяет вероятности В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности P_A(B)=P(B) и условная вероятность А в предположении, что В наступило, равна его безусловной вероят­ности. Если В не зависит от А, то и А не зависит от В; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид P(AB)=P(A)*P(B). Отсюда определение независимых событий: 2 события независимы, если вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей; в противном случае события называют зависи­мыми. Пример. Найти вероятность совместного поражения цели 2мя орудиями, если вероятность поражения цели 1м орудием (А) =0,8, а 2м (В) =0,7. Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность P(AB)=P(A)*P(B)=0,7*0,8=0,56.

Несколько событий попарно независимы, если каждые 2 из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. Несколько событий независимы в совокуп­ности (или просто независимыми), если независимы ка­ждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события А₁,А₂,А₃ независимы в совокупности, то независимы события А₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и А₃; А₁ и А₂А₃, А₂ и А₁А₃, А₃ и А₁А₂. Из этого следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероят­ность появления любого из них, при условии, что наступили какие-либо др.собы­тия из числа остальных, равна его безусловной вероят­ности.

Следствие из теоремы умножения. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)*P(A₂)…P(A_n). Доказательство. Рассмотрим события А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно сов­мещению событий АВ и С. Поэтому P(ABC)=P(AB*C). Т.к. А, В и С независимы в совокуп­ности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для 2х неза­висимых событий имеем: P(AB*C)*P(C) и P(AB)=P(A)*P(B). Тогда P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C). Для произвольного числа событий доказательство проводится ме­тодом математической индукции.

Замечание. Если события А₁,А₂…А_n независимы в совокупности, то и противоположные им события Ā₁,Ā₂…Ā_n также независимы в совокупности. Пример. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет. Решение. Вероятность появления герба первой монеты (А) P(A)=½ и второй монеты (В) P(B)=½. А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна P(AB)=P(A)*P(B)=½*½=¼.

15. Вероятность появления хотя бы одного независимого события из совокупности.

Теорема. Вероятность появления хотя бы 1го из событий А₁,…А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Ā₁, …Ā_n: P(A)=1-q₁q₂…q_n. Доказательство. Пусть А – это появление хотя бы 1го из событий А₁,А₂…А_n. События А и Ā₁, Ā₂,…Ā_n (ни 1 из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей =1: P(A)+P(Ā₁, Ā₂,…Ā_n)=1. Отсюда по теореме умножения получим P(A)=1-P(Ā₁, Ā₂,…Ā_n)=1-P(Ā₁)*P(Ā₂)…P(Ā_n), или P(A)=1-q₁q₂…q_n.

Частный случай. Если события А₁,А₂…А_n имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P(A)=1-qⁿ.

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из 3х орудий таковы: P₁=0,8; P₂=0,7 Рз=0,9. Найти вероятность хотя бы 1го попадания (А) при 1м залпе из всех орудий. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из др.орудий. рассматриваемые события А₁ (попадание 1го орудия), А₂ (2го) и А₃ (3го) независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных А₁,А₂ и А₃ (промахов), соответственно равны: q₁=1-p₁=1-0,8=0,2; q₂=0,3; q₃=0,1. Искомая вероятность P(A)=1-q₁q₂q₃=1-0,2*0,3*0,1=0,994.