- •Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •Независимые и зависимые события, условная вероятность события
- •Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
- •Вероятность появления хотя бы одного независимого события из совокупности.
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Понятие и разновидности случайных величин.
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .
- •Биномиальный закон распределения .
- •25. Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Понятие и вероятностный смысл мож дискретной случайной величины
- •Вероятностный смысл мож и мож в 1м испытании
- •Свойства 1, 2
- •Теорема о математическом ожидании биномиального закона распределения
- •Целесообразность введения рассеяния, отклонения…
- •Дисперсия
- •Свойства 1,2 дисперсии
- •Свойства 3,4 дисперсии
- •Среднеквадратическое отклонение суммы независимых случайных величин.
- •Моменты распределения дискретных случайных величин
- •Коэффициент ассиметрии.
- •Теорема Чебышева.
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения
- •3 Свойство функции распределения
- •Взаимосвязь функции и плотности распределения.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из 2х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Доказательство. Поскольку А и В совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из 3х несовместных событий: AɃ, ĀB или AB. По теореме сложения вероятностей несовместных событий P(A+B)=P(AɃ)+P(ĀB)+P(AB). Событие А произойдет, если наступит одно из 2х несовместных событий: АɃ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем P(A)=P(AɃ)+P(AB) отсюда P(AɃ)=P(A)-P(AB). Аналогично имеем P(B)=P(ĀB)+P(AB). Отсюда P(ĀB)=P(B)-P(AB). Подставив, окончательно получим P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Замечание 1. При использовании этой формулы надо иметь в виду, что А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B); для зависимых событий P(A+B)+P(A)+P(B)-P(A)*PA(B).
Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и тогда P(AB)=0. Тогда формула примет вид P(A+B)=P(A)+P(B).
Пример. Вероятности попадания при стрельбе 1го и 2го орудий равны: p1=0,7; p2=0,8. Найти вероятность попадания при 1м залпе из обоих орудий хотя бы одним из них. Решение. Очевидно, что события А (попадание 1го орудия) и В (попадание 2г) независимы. Вероятность АВ (оба попали) равна P(AB)=P(A)*P(B)=0,7*0,8=0,56. Искомая вероятность P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0,7+0,8-0,56=0,94.
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1 B2, ...,Вn образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: P(A)=P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A)+…+P(Bn)*PBn(A). Это «формула полной вероятности». Доказательство. Событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1, B2,...Вn. Иными словами, появление А означает осуществление 1го, безразлично какого, из несовместных событий В1А….., ВnА. Пользуясь теоремой сложения для несовместных событий, получим P(A)=P(B1A)+P(B2A)+…+P(BnA). Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем P(B1A)=P(B1)PB1(A); P(BnA)=P(Bn)PBn(A). Подставив правые части равенств, получим P(A)=P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+P(Bn)PBn(A).
Пример. Имеется 2 набора деталей. Вероятность того, что деталь 1го набора стандартна, =0,8, а 2го =0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора стандартная. Решение. Обозначим через А - «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена из 1го набора (В1), либо из 2го (В2). При этом Р(В1)= Р(В2)=1/2. Условная вероятность того, что стандартная деталь извлечена из 1го набора PB1(A)=0,8, из 2го набора – PB2(A)=0,9. Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь стандартная, по формуле полной вероятности равна P(A)= P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)=0,5*0,8+0,5*0,9=0,85.