26. Свойства 1, 2

Свойство 1. МОЖ по­стоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. Доказательство. Постоян­ная С - дискретная случайная величина, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно, М(С)=С*1=С.

Замечание 1. Определим произведение постоянной С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Напри­мер, если вероятность возможного значения x₁ равна p₁, то вероят­ность того, что величина СХ примет значение Сх₁, также равна р₁.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак МОЖ: М(СХ)=СМ(Х). Доказательство. Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

CX	Cx1	Cx2	…	Cxn
P	p1	p2	…	pn

Х	х1	х2	…	хn
P	p1	p2	…	pn

По Замечанию1, закон распределения СХ:

МОЖ случайной величины СХ: M(CX)=Cx₁p₁+…+Cx_np_n=C(x₁p₁+…+x_np_n)=CM(X)

Замечание 2. 2 случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Пусть произведение независимых случай­ных величин Х и У - случайная величина XY, возможные зна­чения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение У; Вероятности возможных значе­ний XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения х₁ равна р₁, вероятность возможного y₁ равна g₁, то вероятность возможного x₁y₁ равна p₁g₁. Некоторые произведения x_iy_i могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соотв.вероятностей. Например, если x₁y₂=x₂y₅, то вероятность x₁y₂ (или что то же x₂y₅) равна p₁g₂+p₂g₅.

26. Свойство 3. МОЖ произведе­ния 2х независимых случайных величин равно произведе­нию их МОЖ: М(XY)=M(X)*M(Y). Доказательство. Пусть независимые случайные Х и У заданы законами распределения вероятностей: X x₁ x₂ Y y₁ y₂

P p₁ p₂ G g₁ g₂

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все воз­можные значения Х на все возможные У и получим: x₁y₁, x₂y₁, x₁y₂, x₂y₂. Учитывая Замечание 3, напишем закон распределения ХY, предполагая, что все полученные произведения различны:

МОЖ равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности: M(XY)=x₁y₁*p₁g₁+x₂y₁*p₂g₁+x₁y₂*p₁g₂+x₂y₂*p₂g₂

или M(XY)=y₁g₁(x₁p₁+x₂p₂)+y₂g₂(x₁p₁+x₂p₂)= (x₁p₁+x₂p₂)(y₁g₁+y₂g₂)=M(X)*M(Y)

Следствие. МОЖ произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их МОЖ. Например, для 3х случайных величин имеем: M(XYZ)=M(XY*Z)=M(XY)*M(Z)=M(X)M(Y)M(Z). Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

26. Свойство 4. (справедливо и для неза­висимых, и зависимых случайных величин) МОЖ суммы 2х случайных величин равно сумме МОЖ слагаемых: M(X+Y)=M(X)+M(Y) Доказательство. Пусть случайные Х и Y заданы законами распределения:

Составим все возможные значения величины X+Y. Для этого к каждому возможному значению Х прибавим каждое возможное значение Y, получим: x₁+y₁, x₁+y₂, x₂+y₁, x₂+y₂. Обозначим их вероятности через p₁₁, p₁₂, p₂₁, p₂₂. МОЖ величины Х+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: M(X+Y)=( x₁+y₁)p₁₁+( x₁+y₂)p₁₂+( x₂+y₁₎p₂₁+(x₂+y₂)p₂ или M(X+Y)=x₁(p₁₁+p₁₂)+x₂(p₂₁+p₂₂)+y₁(p₁₁+p₂₁)+y₂(p₁₂+p₂₂). Докажем, что p₁₁+p₁₂=p₁. Событие, состоящее в том, что Х примет x₁ (вероятность этого равна p₁), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x₁+y₁ или x₁+y₂ (вероятность этого события по теореме сложения равна p11+p12), и обратно. Отсюда и следует, что p₁₁+p₁₂=p_1. Аналогично доказываются др.равенства.

Подставляя их в соотноше­ние, получим M(X+Y)=(x₁p₁+x₂p₂)+(y₁g₁+y₂g₂) или окончательно M(X+Y)=M(X)+M(Y). В случае большего числа величин доказатель­ство аналогичное.

Следствие. МОЖ суммы нескольких случайных величин равно сумме МОЖ слагаемых. Например, для 3х слагаемых величин имеем M(X+Y+Z)=M[(X+Y)+Z]=M(X+Y)+M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z). Для произвольного числа слагаемых величин доказа­тельство проводится методом математической индукции.