33.4. Экстраполяция

В математике экстраполяцией называется предсказание поведения некоторой зависимости по имеющимся измерениям ее характеристик в определенной, иногда довольно узкой, области. Вообще-то, качественный прогноз такого рода можно дать лишь в случае задания эмпирического закона в виде общей формулы, для чего применяются методы регрессивного анализа. Однако использовать формулы регрессии можно лишь в том случае, если известен математический вид исследуемой зависимости. Во всех остальных случаях приходится применять весьма обобщенные и по этой причине малоэффективные для большинства закономерностей алгоритмы.

С полиномиальной экстраполяцией при помощи кубических сплайнов и прямых мы уже познакомились. Однако, вы, наверное, согласитесь, что такой тип предсказания для решения реальных задач вряд ли может быть полезен, так как он более или менее эффективен лишь в том случае, если экстраполируемые данные задаются полиномом невысокой степени. Если же исследуемая зависимость периодическая или склонна к осцилляции, то применение полиномиальной экстраполяции бессмысленно.

Некоторые статистические методы позволяют осуществлять более эффективную, чем при использовании полиномов, экстраполяцию разнообразных по форме зависимостей. Принцип их работы основывается на анализе поведения зависимости в нескольких точках, а не только на краях промежутка экспериментальных данных, как в случае применения в качестве прогнозных кривых продолжений сплайнов. В MathCAD функцией, реализующей один из экстраполяционных алгоритмов (linear prediction - линейной экстраполяции) является встроенная функция predict(y,m,n), где:

у - вектор эмпирических значений экстраполируемой характеристики по оси ординат. Особенность алгоритма, используемого функцией, заключается в том, что экстраполяцию он делает только на основании у-координат выборки (при этом подразумевается, что шаг по оси абсцисс постоянен). Это вполне оправданно в связи с тем, что экстраполяция обычно проводится для прогноза особенностей поведения кривой, а не определения ее числовых характеристик;

m - количество ближайших к правой границе выборки точек, на основании которых проводится экстраполяция;

n - количество точек в просчитываемом векторе прогноза.

При помощи функции predict можно проводить довольно эффективную экстраполяцию непрерывных, периодических или осциллирующих функций в относительно неширокой области. Например, попробуем предсказать поведение кривой затухающих колебаний. Для этого зададим вектор из у-координат ее 101 точки на промежутке от 0 до 3. Обязательным условием корректного использования функции predict является то, что шаг изменения переменной при определении вектора данных должен быть постоянным. Очевидно, что простым способом организации такого вектора является использование ранжированных переменных (рис. 8).

Далее зададим векторы экстраполяции при помощи функции predict. Чтобы сравнить степень влияния количества анализируемых точек выборки на качество предсказания, определим три экстраполяционных вектора при различных значениях параметра m. Размерность же этих векторов определим, например, как 150 (рис. 33.8).

После задания векторов приближений можно построить соответствующие графики. При этом переменная для векторов экстраполяции может быть определена прибавлением к вектору х соответствующей координаты крайнего значения в выборке. В нашем случае это 3. Такой подход оправдывается тем, что при построении графика мы должны учитывать, что функция predict выдает точки экстраполяции с тем расчетом, что шаг между ними такой же, как и между х - координатами выборки.

Внимательно изучив графики на рис. 33.8, вы, наверное, согласитесь, что экстраполяция при помощи функции predict довольно эффективна (с учетом специфики вопроса), однако лишь на небольшом отрезке правее крайней точки выборки. Чем дальше расположен фрагмент приближающей кривой от точек, на основании которых проводится экстраполяция, тем в меньшей степени, скорее всего, он будет соответствовать реальному поведению зависимости.

Рис. 33.8. Использование функции предсказания.

К интересному и неожиданному выводу можно прийти, анализируя влияние количества точек выборки, на основании которых проводится экстраполяция, на точность последней. Казалось бы, чем больше точек обрабатывается, тем точнее должна быть информация о продолжаемой кривой и тем ближе будет график экстраполирующей кривой к реальной зависимости. Однако, глядя на приведенные графики, можно обнаружить, что такой прямой зависимости не существует: в случае обработки всех точек выборки, приближающая кривая быстро возрастает, чего не наблюдается при анализе части экспериментальных точек.

Успех экстраполяции зависит от типа исследуемой зависимости. Лучше всего удается предсказание поведения парабол, экспоненциальных кривых и несложных периодических функций. В общем случае - чем сложнее зависимость, тем на более коротком промежутке можно доверять результатам экстраполяции. Такие же простые функции, как синус или косинус, корректно продолжаются функцией predict на сколь угодно широком интервале (рис. 33.9).

Рис. 33.9. Предсказание поведения функции cos(x)

Если в выборке не очень много точек и шаг между ними велик (или при наличии заметной погрешности), пытаться проводить экстраполяцию бессмысленно. Да и, учитывая широкие возможности расчета регрессий в MathCAD, этого и не требуется.

Задачей регрессионного анализа является установление параметров экспериментальной зависимости с учетом того, что эмпирические точки получены с некоторой погрешностью. Обычно это делается при помощи расчета минимума тем или иным образом задаваемой функции ошибки. Часто название регрессии упрощают до построения гладкой кривой между точками опытных данных. Однако реальные возможности регрессионного анализа гораздо шире, и без области статистики невозможно представить ни прикладной физики, ни современной техники.

Практическая важность регрессии огромна: например, любой корректно построенный график экспериментальной зависимости должен быть задан при ее помощи. Реально задачи регрессии встречаются на практике чаще, чем интерполяции или, тем более, экстраполяции.