33.2. Некоторые определения

Когда вы имеете дело с выборкой экспериментальных данных, то они, чаще всего, представляются в виде массива, состоящего из пар чисел . Поэтому возникает задача аппроксимации дискретной зависи­мости непрерывной функцией . Функция , в зависимо­сти от специфики задачи, может отвечать различным требованиям:

1. должна проходить через точки , т.е. . В этом случае говорят об интерполяции дан­ных функцией во внутренних точках между , или экстраполяции за пределами интервала, содержа­щего все .

2. должна некоторым образом (например, в виде определенной анали­тической зависимости) приближать , не обязательно проходя через точки . Такова постановка задачи ре­грессии, которую во многих случаях также можно назвать сглаживанием данных.

3. должна приближать экспериментальную зависимость , учи­тывая, к тому же, что данные получены с некоторой по­грешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. При этом функция , с помощью того или иного алгоритма, уменьша­ет погрешность, присутствующую в данных . Такого рода задачи называют задачами фильтрации. Сглажива­ние - частный случай фильтрации.

Рис. 33.2. Различные типы аппроксимации экспериментальных данных

Различные виды построения аппроксимирующей зависимости ил­люстрирует рисунок 33.2. На нем показаны исходные данные, ин­терполяция отрезками прямых линий, линейная регрессия и фильтрация. Эти зависимости приведены в качестве примера и отражают лишь малую часть возможных вариантов обработки.

33.3. Интерполяция

Пусть задан дискретный набор точек , называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а так же значения функции в этих точках. Требуется построить функцию , проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является . Такой способ введения функции называют лагранжевой интерполяцией, а условия - условиями Лагранжа.

В качестве функции обычно выбирают полином, который называется интерполяционным полиномом. В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная. В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами.

33.3.1. Глобальная интерполяция

При глобальной интерполяции ищется единый полином для всего интервала. Если среди узлов нет совпадающих, то такой полином будет единственным, и его степень не будет превышать .

Запишем систему уравнений для определения коэффициентов полинома:

(33.1)

Определим матрицу коэффициентов системы уравнений А:

(33.2)

и вектор-столбец свободных членов b

(33.3)

Система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных будет иметь решение, если определитель системы (определитель матрицы А) отличен от нуля. Определитель матрицы А, известный в алгебре как определитель Вандермонда, имеет аналитическое выражение

(33.4)

Из этого выражения видно, что , если среди узлов нет совпадающих.

Решение системы уравнений представляет собой самостоятельную и достаточно трудоемкую задачу. Но использование математических пакетов, в частности - MathCAD, позволяет решать ее удивительно легко и изящно. Достаточно просто записать решение в матричном виде (рис. 33.3).

С увеличением количества узлов возрастает и степень интерполяционного полинома, что приводит к резкому увеличению погрешности в результате возникновения так называемого явления волнистости. Кроме того, для целого ряда функций глобальная интерполяция полиномом вообще не дает удовлетворительного результата.

Рис. 33.3. Решение задачи интерполяции полиномом в MathCAD

Для того чтобы избежать высокой степени полинома отрезок интерполяции разбивают на несколько частей и на каждом частичном интервале строят самостоятельный полином невысокой степени. Далее мы рассмотрим наиболее часто используемые виды интервальной интерполяции, а также способы их реализации в MathCAD