33. Анализ результатов совместных измерений

33.1. Цель и особенности эксперимента по определению функ­циональной зависимости

На практике сама необходимость измерений большинства величин вызывается именно тем, что они не остаются постоянными, а изменяются в функции от изменения других величин. В этом случае целью измерений является установление вида функциональной зависимости . Для это­го должны одновременно определятся как значения x, так и соответствую­щие им значения y, а задачей эксперимента является, как приня­то теперь говорить, установление математической модели исследуемой зависимости.

Определение математической модели включает в себя указание вида мо­дели и определение значений ее параметров (коэффициентов, показателей степени и т. д.). Искомая функция может быть как функцией одной независимой переменной, так и функцией многих переменных. В совре­менной теории эксперимента независимые переменные принято называть факторами, а зависимую переменную y - откликом. В соответствием с этим эксперимент по определению функции вида y=f(x) принято именовать однофакторным, а эксперимент по определению функции вида y=f(x₁,x₂,...,x_k) - многофакторным.

Именно однофакторный эксперимент мы и будем подробно рассмат­ривать. Однако большинство методов обработки прямо переносятся и в слу­чае многофакторного эксперимента.

Возможны два основных варианта реализации совместных измере­ний ве­личин x и y: активный и пассивный эксперимент.

В активном (или планируемом) эксперименте значения аргумента x₁, x₂, ..., x_k выбирают заранее и последовательно воспроизводят эти значе­ния, выполняя при каждом фиксированном значении аргумента x_i измере­ние соответствующей величины y_i. В этом случае x на­зывают контролируе­мой переменной.

В пассивном (непланируемом) эксперименте значения аргумента за­ранее не выбирают, а измеряют те значения x_i, которые заданы каким-либо образом или произвольно выбраны из числа возможных. При тех же зна­чениях x_i измеряют также соответствующие величины y_i.

Во многих случаях активный эксперимент является предпочтитель­ным, поскольку за счет рационального выбора значений x_i можно полу­чить более точные оценки зависимости, а для обработки можно приме­нять бо­лее широкий класс оценок. Однако на практике это не всегда мож­но реа­лизовать.

Искомая математическая модель функциональной зависимости может быть найдена лишь в результате совместной об­работки всех полученных значений x и y. На рис. 33.1 это кривая, проходящая по центру полосы экспериментальных точек, ко­торые могут и не лежать на искомой кривой , а зани­мать некоторую полосу вокруг нее. Эти отклонения вызваны рядом при­чин (погрешностями измерений, неполнотой модели и учитываемых фак­торов, случайным характером самих исследуемых процессов).

Рис. 33.1.. Результаты однофакторного эксперимента

Разделить погрешности, вызванные неточностью измерений x и не­точностью измерений y, невозможно, так как смещение точки, напри­мер выше кривой, могло быть вызвано как положительной погреш­ностью при измерении y, так и отрицательной погрешностью при изме­рении x. Поэтому описанием погрешности исходных данных может быть лишь указание ширины полосы их разброса вокруг найден­ной кривой зависимости . При этом полоса разброса эксперимен­тальных данных не обязательно будет иметь постоянную ши­рину по всей своей длине. Она может быть узкой в начале и расширяться в конце или, например, иметь узкий перешеек в средней части и расши­ряться по кон­цам и т. д. Поэтому вопрос о форме полосы погрешностей должен анали­зироваться в каждом отдельном случае.

Искомая зависимость , которая строится по набору экспери­ментальных данных , может быть представлена в раз­личном виде: аналитически (формулой), графически или в виде табли­цы. Выбор способа представления зависит от функционального вида и слож­ности зависимости, а также от способа ее дальнейшего использова­ния на практике. Обычно предпочитают задавать ее в аналитическом виде фор­мулой, поскольку такая форма представления наиболее компакт­на и поз­воляет решать широкий круг практических задач. Однако в тех случаях, когда зависимость нельзя достаточно точно аппроксимировать простой функцией или аналитическое построение оказывается слишком трудоем­ким, приходится задавать ее с помощью графика или таблицы.

Способ задания зависимости определяет обработку данных при ее по­строении. Если зависимость задается таблицей , то при ее составлении лишь выполняют обработку результатов наблюде­ний , в каждой точке порознь согласно обычным правилам обработки данных при прямых или косвенных измерениях.

Если зависимость задается аналитически, то в дополнение к этому необ­ходима обработка всего набора данных в целом. При этом задается опре­деленный функциональный вид зависимости и вычисляют оценки ее пара­метров.

Для графического способа задания зависимости возможны два варианта, близкие к одному из упомянутых выше случаев. Если график строится по­точечно (без сглаживания), то выполняется лишь обработка данных в каждой из точек. В промежутках между ними зависимость определяется, например, путем интерполяции. Если график строится со сглаживанием, ориентируясь на определенный функциональный вид зависимости, то об­работка выполняется, как и при аналитическом представлении.