- •Раздел 10. Основы анализа экспериментальных данных
- •29.2. Классификация погрешностей
- •30. Обзор программного обеспечения для выполнения анализа, обработки и представления экспериментальных данных
- •30.1. Математические (символьные) вычисления
- •30.2. Расчеты и статистическая обработка результатов
- •30.2.1. MathCad
- •30.2.2. Matlab - Scilab - Octave
- •30.3. Построение графиков
- •30.3.1. Sigma Plot
- •30.3.2. Origin
- •30.3.3. Gnuplot
- •30.4. Работа с текстом
- •30.4.1. Ms Word
- •30.4.2. OpenOffice.Org
- •31. Анализ результатов измерений случайной величины.
- •31.1. Гистограмма. Эмпирическое распределение результатов наблюдений
- •31.2. Результат измерения. Доверительный интервал
- •31.3. Нормальное или гауссово распределение
- •31.4. Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение
- •31.5. Среднеквадратичная ошибка среднего.
- •31.6. Приборная погрешность. Класс точности прибора.
- •31.7. Сложение случайной и приборной погрешностей. Полная погрешность измерения
- •31.8. Запись и округление результата измерения
- •32. Ошибки косвенных измерений
- •32.1. Функция одной переменной
- •32.2. Функция нескольких переменных
- •32.3. Ошибки и методика эксперимента
- •33. Анализ результатов совместных измерений
- •33.1. Цель и особенности эксперимента по определению функциональной зависимости
- •33.2. Некоторые определения
- •33.3. Интерполяция
- •33.3.1. Глобальная интерполяция
- •33.3.2. Локальная интерполяция
- •33.3.2.1. Кусочно-линейная интерполяция
- •33.3.2.2. Интерполяция кубическими сплайнами
- •33.3.2.3. Интерполирование b-сплайнами
- •33.4. Экстраполяция
- •33.5. Сглаживание данных
- •33.6. Регрессия
- •33.6.1. Выбор вида математической модели
- •33.6.2. Метод наименьших квадратов.
- •33.6.2.1. Линейная зависимость.
- •33.6.2.2. Линеаризация
- •33.6.2.3. Полиномиальная регрессия
- •33.6.2.4. Регрессия линейной комбинацией функций
- •33.6.2.5. Регрессия общего вида.
32.2. Функция нескольких переменных
Рассмотрим случай, когда - функция двух переменных и :
. (32.9)
Ошибки в величинах и таковы
, (32.10)
, (32.11)
где и - истинные значения величин и . Как и в предыдущем случае, предполагается, что в пределах измеренных значений можно приближенно считать линейной функцией и . Тогда ошибка в величине равна
, (32.12)
где коэффициенты и даются выражениями
, (32.13)
. (32.14)
Эти частные производные вычисляются в точках и . Из последнего равенства следует, что
. (32.15)
Усредним обе части этого равенства по парам значений и из соответствующих им распределений. Поскольку величины и предполагаются независимыми, среднее значения произведения равно нулю.
По определению,
, (32.16)
, (32.17)
. (32.18)
Следовательно,
. (32.19)
Таблица 32.1.
Операции над ошибками
Функциональная связь между , и |
Соотношения между ошибками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно установить общее правило. Пусть - известная функция переменных и т.д. Пусть среднеквадратичная ошибка в величине равна и т. д. Тогда среднеквадратичная ошибка в величине дается соотношением
, (32.20)
где
(32.21)
и т.д.
Выражение для в ряде конкретных случаев представлены в таб. 32.1.
32.3. Ошибки и методика эксперимента
Если интересующая нас величина связана с непосредственно измеряемыми величинами и соотношением или , то ошибка на х % в величине или приводит к ошибке на те же х % в величине .
Таким образом, величины и следует измерять примерно с одинаковой точностью, хотя бы они и сильно различались.
Другое дело, когда или . Здесь все зависит от того, сильно ли разнятся величины и . Рассмотрим такой пример
Случай 1
В данном случае большая величина известна с высокой точностью, тогда как величина измерена лишь с точностью 5 %, Окончательная же величина при этом определяется с точностью 0,05 %, Мы видим, что для достижения требуемой точности большую величину нужно измерять точнее, а малую добавку - с меньшей точностью.
Теперь рассмотрим Случай 2
Обе непосредственно измеряемые величины определены с точностью 2 %, а точность конечной величины оказывается равной 75 %. Таким образом, вычисляя разность двух близких независимо измеренных величин, мы сталкиваемся с принципиальной неприятностью: окончательная ошибка сильно возрастает. Значит, нужно по возможности найти иной метод измерения .
В дальнейших лекциях мы приведем примеры экспериментальных методов, которые позволяют использовать преимущества случая 1 и избегать случая 2. Эти примеры показывают, как учет ошибок измерения оказывает влияние непосредственно на методику эксперимента.
А теперь рассмотрим один гипотетический пример. Допустим, что требуется определить величину . Проведена серия измерений и найдено
Следовательно, %, = 10 %, а %.
Предположим, что у нас есть еще резерв времени, который позволяет снизить ошибку измерения одной из величин, скажем, вдвое. Какой из них отдать предпочтение? Если это время затратить на измерение величины , то получим = 1 %, что приведет к %. Если же уточнить , то в результате получим = 5 %, а значит, %. Итак, в первом случае окончательная ошибка мало изменилась, а во втором она уменьшилась почти вдвое.
Мораль такова: основное внимание нужно всегда уделять тем величинам, которые дают наибольший вклад в окончательную ошибку.
Вообще говоря, необходимо так планировать эксперимент, чтобы ни одна из величин не вносила в конечный результат ошибки, значительно превышающей ошибки остальных величин. В приведенном примере очевидно, что измерения, в которых было в 5 раз больше, чем , плохо спланированы; на измерения величины следовало бы затратить больше времени, сократив время измерения величины . Конечно, дополнительные измерения не всегда могут приводить к снижению ошибки. Тем не менее, каждый раз при планировании эксперимента следует помнить о том, что желательно снизить ошибки, вносящие наибольший вклад.