31.7. Сложение случайной и приборной погрешностей. Полная погрешность измерения

Пусть результаты наблюдений наряду со случайной содержат и систематическую приборную погрешность , которую можно считать постоянной в течение времени проведения измерения, так как характеристики прибора за это время не успевают заметно измениться. Наблюдаемые в опыте результаты наблюдений будут при этом равны . Наличие постоянной погрешности, вносимой прибором в результаты наблюдений, приводит к смещению выборочного среднего

. (31.34)

Однако ее наличие совершенно не влияет на случайную погрешность результата измерения.

Смещение среднего и доверительного интервала может привести к тому, что истинное значение измеряемой величины окажется за пределами найденного доверительною интервала , как это показано на рис. 31.6.

Чтобы этого не произошло, необходимо расширить доверительный интервал на величину верхней границы возможных значений погрешностей прибора . В этом случае и результат измерения можно записать в виде

, (31.35)

где назовём полной погрешностью результата измерения. Новый доверительный интервал ( ) обязательно накроет истинное значение , так как (рис. 31.6). Отметим, что доверительная вероятность, соответствующая найденному таким образом доверительному интервалу, будет превышать доверительную вероятность, используемую для нахождения случайной составляющей погрешности измерения.

Рис. 31.6. К определению полной погрешности измерения

Указанный способ суммирования погрешностей дает максимальную верхнюю границу полной погрешности результата измерения. Однако маловероятно, что в данном эксперименте полная погрешность примет своё максимальное значение. Учитывая, что, как правило, на практике приборная погрешность, как отдельного прибора (погрешности квантования и шкалы прибора), так и в серии приборов изменяется нерегулярным образом, оставаясь в границах , полная погрешность результата измерения с учетом неизвестности величины и знака лежит в пределах

. (31.36)

Сопоставляя это выражение с неравенством треугольника

(31.37)

можно заключить, что в качестве разумной оценки полной погрешности результата измерения можно выбрать величину

(31.38)

Строгое рассмотрение суммирования случайной и приборной погрешностей основано на построении совместной функции плотности распределения вероятности . Будем считать, что в интервале ( ) все возможные значения приборной погрешности равновероятны, то есть приборная погрешность распределена равномерно. Тогда совместная функция распределения представляет собой свертку нормального (или распределения Стьюдента для конечного числа наблюдений ) и равномерного законов распределения:

. (31.39)

Можно построить доверительный интервал для совместной функции распределения случайной и приборной погрешностей. Полученное выражение для полной погрешности результата измерения хорошо (с точностью до 5%) аппроксимируется формулой.

Итоговая запись результата измерения будет иметь вид

(31.40)

с вероятностью , где - вероятность определения случайной составляющей погрешности измерения.