Ответ №19

Понятие о второй производной. Производные высших порядков

Производная от производной у' функции у называется второй производной этой   функции и обозначается у" или f"(х):

y" = (y')';     f"(х) = [ f(х)]'.

Рассмотрим несколько примеров.

1)  Пусть      у = 3x³ — 6x² + 7х — 1.

По правилу дифференцирования многочленов

у' = (3x³ — 6x² + 7х — 1)' = 9x² — 12x + 7;

y"  = (у')' = (9x² — 12x + 7)' = 18x — 12.

2)  Пусть    у = sin х. Тогда

у' = (sin х)' = cos х;         y"  = (cos х)' = — sin x.

Ответ №20

Определения и понятия.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой. Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.

Точка   называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки  , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной. На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба. 

Ответ №21

Асимптоты

Определение 1. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при   или  .

Различают вертикальные и наклонные асимптоты (в частности, горизонтальные).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов  f (а + 0),  f (а –  0) равен бесконечности или не существует, то есть в точке х = а функция терпит разрыв второго рода.

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

[править]Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела

.

[править]Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида   при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при  (или  ) не существует!

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела  , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при  , и из выше указанных замечаний следует, что

Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну вертикальную асимптоту, или одну наклонную и одну вертикальною, или две наклонных, или две вертикальных, либо же вовсе не имеет асимптот.

Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.