- •Ответ №1
- •Ответ №2
- •Ответ №3
- •Ответ №5
- •Ответ №7
- •Ответ №9.
- •Ответ №10
- •Ответ№12
- •Ответ №13
- •Ответ №14
- •Ответ №16
- •Ответ №19
- •Ответ №20
- •Ответ №21
- •Ответ №22
- •Ответ №23
- •Ответ №24
- •Ответ №26
- •Ответ №27
- •Ответ №28
- •Ответ №29
- •Ответ №30
- •Ответ №32
- •Ответ №33
- •Ответ №34
- •Ответ №35
- •Ответ №36
- •Ответ №37
- •Ответ №38
- •Ответ №39
- •Ответ №40
Ответ №37
Пусть f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b]. Тогда она будет непрерывной и на всяком частичном промежутке [a, x], и можем рассмотреть интеграл
Производная определенного интеграла от непрерывной функции, рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подинтегральной функции в точке дифференцирования.
В виде формулы высказанное утверждение выглядит так:
Если же положить
то формулированную теорему можно будет записать равенством
(17)
Приведем сначала не строгое, но очень наглядное геометрическое рассуждение, выясняющее суть теоремы.
Предполагая функцию f(t) непрерывной и положительной на [a, b], мы сможем изобразить функцию в виде площадки криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, t = a, t = x, y = f(t) (см. Рис. 6.).
Ответ №38
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что
▼Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; 0] и [0; а]. Тогда по свойству аддитивности
В первом интеграле сделаем подстановку х = -t. Тогда
(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим
Если функция ƒ(х) четная (ƒ(-х) = ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 2ƒ(х); если функция ƒ(х) нечетная (ƒ(-х) = - ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 0. Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).▲
Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что
Ответ №39
Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается . Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.
От неограниченных функций
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
Таким образом,поопределению,
Ответ №40
Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.
Если интеграл сходится, а интеграл расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся
Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и при x > a удовлетворяют неравенствам . Тогда: если сходится интеграл , то сходится интеграл ; если расходится интеграл , то расходится интеграл В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа . Этот интеграл сходится, если p < 1, и расходится, если :