Ответ №3

Свойства монотонных последовательностей

1. Пусть {a } – возрастающая (убывающая) последовательность, С – некоторое число. Тогда а) {a +С} – возрастающая (убывающая) последовательность; б) {Сa } – возрастающая (убывающая) последовательность при С>0; в) {Сa } – убывающая (возрастающая) последовательность при С<0. 2. Если одна из последовательностей {a } и {b } возрастающая, а другая неубывающая, то{a +b } – возрастающая последовательность; если же одна из этих последовательностей убывающая, а другая невозрастающая, то {a +b } – убывающая последовательность. 3.а) Если одна из последовательностей {a } и {b } возрастающая, а другая неубывающая, то {a b } – возрастающая последовательность при a >0, b >0 для любых n N и {a b } – убывающая последовательность при a <0, b <0 для любых n N; б) если одна из последовательностей {a } и {b } убывающая, а другая невозрастающая, то {a b } – убывающая последовательность при a >0, b >0 для любых n N и {a b } – возрастающая последовательность при a <0, b <0 для любых n N. 4. Если {a } – возрастающая (убывающая) последовательность, то а) { } – убывающая (возрастающая) последовательность при a >0 для любых n N; б) { } – возрастающая (убывающая) последовательность при a <0 для любых n N. 5. Если все члены последовательности {a } принадлежат множеству M, которое содержится в области определения функции у=f(x), то а) если {a } – возрастающая (убывающая) последовательность и функция у=f(x) возрастающая на множестве М, то {f(a )} – возрастающая (убывающая) последовательность; б) если { } – возрастающая (убывающая) последовательность и функция у=f(x) убывающая на множестве М, то {f(a )} – убывающая (возрастающая) последовательность. Например, из свойства 5 следует, что последовательности a = , b =lnn, с =n  являются возрастающими, а последовательности a = , b =ln  , с =( )  являются убывающими. Пример 5. Доказать, что последовательность   является возрастающей последовательностью. Последовательность   является возрастающей как квадрат последовательности   с положительными членами по свойству 3. Последовательность   возрастающая как сумма возрастающих последовательностей   и   по свойству 2, тогда последовательность,   убывающая по свойству 4, а исходная последовательность возрастающая по свойству 1.

Ответ №5

Бесконечно малая величина

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Свойства бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины   и   (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если  , то   — бесконечно малая высшего порядка малости, чем  . Обозначают  .

Если  , то   — бесконечно малая низшего порядка малости, чем  . Соответственно  .

Если   (предел конечен и не равен 0), то   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как   или   (в силу симметричности данного отношения).

Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина   имеет  -й порядок малости относительно бесконечно малой  .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Эквивалентные величины

[править]Определение

Если  , то бесконечно малые величины   и   называются эквивалентными ( ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При   справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

, где  ;

, где  ;

, поэтому используют выражение:

, где  .

Примеры использования

Найти 

Заменяя   эквивалентной величиной  , получаем

Найти 

Так как   при   получим

Вычислить  .

Используя формулу:  , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили:  , таким образом ошибка составила: 0,00455, то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.