Ответ №29

Подведение под знак дифференциала

Пусть надо вычислить интеграл вида

∫  U(x) · v(x) dx ,

где   v(x)  имеет очевидную первообразную   V(x).

Тогда

∫  U(x) · v(x) dx   =   ∫  U(x) · V'(x) dx   =   ∫  U(x)  dV(x) .

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала, поскольку функция v(x) исчезает в интегрируемом выражении и появляется под знаком дифференциала в виде своей первообразной V(x).

Если функция U(x) выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то

∫  U(x)  dV(x)   =   ∫  w(V(x)) dV(x)   =   ∫  w(t) dt,

где t = V(x). Таким образом отыскание исходного интеграла сводится к отысканию интеграла

∫  w(t) dt

В нем функция t = V(x) выступает как независимая переменная V, т.е. произошла замена переменной.

Если интеграл

∫ w(t) dt

является табличным или известным образом сводится к табличному, т.е. можно найти некоторую первообразную W функции w, то

∫ w(t) dt   =  W(t) + C,

и искомый интеграл определяется формулой

∫ U(x) · v(x) dx   =  W(V(x)) + C.

(1)

Формулу (1) можно доказать установив равенство производных ее левой и правой частей, причем W(V(x)) дифференцируется как сложная функция переменной x с учетом того, что

W (V(x)) ' = w(V(x)) · V '(x) = U(x) · V '(x)     и     V '(x) = v(x) .

Если функция U(x) не выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то может оказаться полезным интегрирование по частям.

Ответ №30

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла   проще, чем  . В противном случае применение метода неоправдано.

Для неопределённого интеграла

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во времяинтегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»:  , что очевидно неверно.

для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Иногда этот метод применяется несколько раз:

Ответ №31 Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида  , где  , –многочлены степеней n  и m соответственно. Если  , рациональная дробь называется  правильной, в противном случае  –неправильной. Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби: . Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов: , где A, B, C, a, p, q–числа,