Ответ №1
1.2. Операции над множествами.
В этом параграфе будут рассмотрены три простые операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и разность (дополнение) множеств.
Опр.1.2.
Пусть даны множества А и В.
Их объединением называется
множество С,
состоящее из элементов, принадлежащих
хотя бы одному из множеств А, В.
Объединение
множеств обозначается символами "+"
и "∪": C=A∪B.
Пусть, например, А={-6,
-3, 0, 3, 6}, B={0,2,
4, 6, 8}. ТогдаA∪B =
{-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}. Геометрически
объединение множеств изображено на
рис. 2.
Аналогично
определяется объединение большего
числа множеств.
Опр.1.3.
Объединением множеств А1, А2, А3,
…, Аn (обозначение 
)
называется множество, состоящее из
элементов, принадлежащих хотя бы одному
из множеств А1, А2, А3,
…, Аn.
Определение. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В (обозначение AxB) называется множество всех упорядоченных пар (a;b), таких, что aEA, bEB. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А2. Аналогично, прямым произведением множеств A1, A2, ... An называется множество всех векторов (a1, a2, ... an) длины п, таких, что a1EA1,a2EA2 ... anEAn.
Пример 4. Множество - это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.
Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.
Пример 5. Даны множества и . Тогда есть множество обозначений клеток шахматной доски.
Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества в этом случае являются словами длины п в алфавите А. Например, десятичное целое число – это слово в алфавите цифр.
Ответ №2
Числовые последовательности. Монотонность. Ограниченность |
Определение. Пусть
каждому натуральному числу n поставлено
в соответствие некоторое единственное
действительное число Последовательность
обозначается:
,
n=1, 2,… или Числа По определению любая последовательность содержит бесконечное множество элементов. Часто
последовательность задается при
помощи формулы:
,
Последовательность
может быть задана и другими способами.
Например, если Для задания последовательностей используют также рекуррентные соотношения. При таком способе задания последовательности указывают один или несколько первых ее членов и формулу, которая позволяет найти ее n-й член через предшествующие члены. Например, a b
=1, b Определение. Пусть
даны две числовые последовательности
{a
}
и {b
}.
Суммой, разностью, произведением и
частным этих последовательностей
называются соответственно
последовательности { Определение. Последовательность
{a
}
называется возрастающей (убывающей),
если для любого n Определение. Последовательности
убывающие, возрастающие, неубывающие,
невозрастающие называются монотонными
последовательностями. Например, а)
последовательность a
=n!,
n
N
– возрастающая;
б) последовательность 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6,
7, 8, 9, 9,…- неубывающая; в) последовательность
1, Пример
1. Исследовать
на монотонность последовательность a
= Рассмотрим a
-
a
= Пример
2. Доказать,
что последовательность a
= Рассмотрим a
-a
= a
=
|
|
|
|
|
(при
этом разным натуральным числам n могут
соответствовать и одинаковые
действительные числа). В этом случае
на множестве натуральных чисел
определена функция: 
,
которая называется числовой
последовательностью или просто
последовательностью.
.
, 
,…
называются членами последовательности
или ее элементами,
–
общим членом последовательности, n
– номером
члена
.
.
В этом случае эта формула называется
формулой общего члена последовательности
{
}.
Например,
=
,
;
–
число всех различных делителей
числа n,
то 
,
-
последовательность, для
которой
=1,
=2, 
=2, 
=3, 
=2, 
=4, 
=2,…
=1, a
= 
+1
при n=1,
2,…;
=2, b
=2b
+b
при n
3.
},
{
},
{
},
{
};
последнее при условии, b
0,
n=1, 2,….
Произведением последовательности
{a
}
на число k,
называется последовательность {ka
}.
N справедливо
неравенство a
>a
(a
<a
).
Последовательность {a
}
называется неубывающей (невозрастающей),
если для любого n
N справедливо
неравенство a
a
(a
a
).
,
3, 
,
5, 
,
7, 
,…
– немонотонная.
,
n
N.
при
любом n
N,
следовательно,
a
>a
при
любом n
N, то
есть последовательность возрастающая.
,
n
N,
является ограниченной.
при
любом n
N,
то есть a
<a
, следовательно,
последовательность возрастает и
ограничена снизу числом a
=
.
при
любом n
N, следовательно,
последовательность ограничена сверху
числом 1. Последовательность,
ограниченная сверху и снизу, является
ограниченной.