Ответ №14

Производная функции, заданной неявно

Уравнение вида  , содержащее переменные   и  , иногда можно разрешить относительно   и получить в явном виде зависимость  . Например, если дано уравнение  , то из него можно получить зависимость  . Однако такое явное выражение   через  , использующее лишь элементарные функции, можно получить не из любого уравнения вида   (даже если в самом уравнении участвуют лишь элементарные функции). Например, хотя уравнение

задаёт некоторую зависимость   от  , но выразить её из уравнения "в явном виде" не удаётся. Тем не менее, некоторую информацию об этой зависимости мы можем получить, и не выражая   через  . Например, в случае приведённого выше уравнения, поскольку значения  ,   ему удовлетворяют, мы можем утверждать, что график этой зависимости проходит через точку   плоскости  .

Покажем, как, используя уравнение  , найти производную  , не выражая   через   в явном виде. Для этого найдём производные левой и правой части уравнения по переменной  , считая   промежуточным аргументом, а потом выразим   из получающегося равенства.

Поясним сказанное на примере.

        Пример 4.24   Возьмём то же уравнение   и найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем:

Слагаемые, содержащие  , оставим в левой части, а остальные перенесём направо:

откуда

Получили выражение для производной  , содержащее, правда, не только  , но и   в правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением  , уравнения касательной и нормали, проведённых в точке  . Действительно, при   мы получаем  , так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной:  . Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково:

 или 

а уравнение нормали -- таково:

 или 

    

Ответ №16

Дифференцируемость и дифференциал функции.

Пусть y = f(x) имеет производную в точке х, то есть = f '(x). Введём функцию:

(х)= - f '(x) (1)

Эта функция определена при х  0 и является бесконечно малой при х  0. Из равенства (1) получаем: у = f '(x)х + (х)х.(2). Равенство (2) будет верно и при х = 0, если каким-то образом доопределить (х) в точке х = 0. Для дальнейшего удобно положить (0) = 0. Итак, если функция y = f(x) имеет производную f ' (x) в точке х, то её приращение y можно представить в виде (2), где (х) - бесконечно малая при х  0, (0) = 0. Отметим также, что при фиксированном х f '(x) представляет собой некоторое число. Пусть теперь дано, что приращение функции y = f(x) в точке х можно представить в виде

у = Ах + (х)х, (3)

где А - число, (х)  0 при х  0, (0) = 0. Покажем, что тогда функция имеет производную в точке х, причем f '(x) = A. Из (3) следует: = А + (х), = А, то есть f '(x) =А. Таким образом, мы доказали, что если функция y = f(x) имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде (3), где А = f '(x), а функция (х)  0 при х  0, (0) = 0, и обратно: если приращение функции в точке х можно представить в виде (3), то функция имеет производную в этой точке, причём f'(x)=A.

Определение: Если приращение функции y = f(x) в точке х можно представить в виде (3), где А - число, (х)  0 при х  0, (0) = 0, то функция называется дифференцируемой в точке х.

Из проведённых рассуждений следует, что существование производной и дифференцируемость функции в точке являются эквивалентными свойствами. Иными словами: для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке. Поэтому операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

//Замечание: Учитывая, что A = f '(x), (х)х = o(x), условие дифференцируемости (3) можно записать в виде:

х = f '(x)х + o(x).(4)

Теорема 4.1. Если f(x) дифференцируема в точке а, то она непрерывна в точке а.

Доказательство.

По условию приращение функции в точке а можно представить в виде: у = f(a + x) - f(a) = =f'(a)x+o(x). Отсюда следует, что y  0 при x  0, то есть [f(a + x) - f(a)] = 0 или [f(a + x)] = f(a).

(здесь рисунок)

Это и означает, по определению непрерывности, что f(x) непрерывна в точке а.

Теорема доказана.

Условие y  0 при x  0 называется разностной формой условия непрерывности функции в точке а.

//Замечание:Обратное утверждение к теореме 4.1 неверно.

Контрпример: f(x) = |x|.

(здесь рисунок)

f(x) = 0 = f(0), то есть f(x) непрерывна в точке х = 0. Но f '(0) не существует.

Дифференциал функции.

Вернёмся к формуле х = f '(x)х + o(x). Приращение дифференцируемой в точке х функции содержит 2 слагаемых: f '(x)x и o(x). Каждое из этих слагаемых - бесконечно малое при x  0. Если f '(x)  0, то f '(x)x имеет тот же порядок малости, что и x, то есть f '(x)x = О(x), а второе слагаемое о(x) - бесконечно малое более высокого порядка, чем x. Дифференциалом функции y = f(x) в точке x назовем линейную функцию от приращения аргумента x: dy = f '(x)x. Если f '(x)  0, то дифференциал является главной частью приращения функции. Если f '(x) = 0, то dy = 0 для любого x. Дифференциалом независимой переменной х назовём приращение этой переменной: dx = x. Таким образом, dy = f '(x)x,(5)

f '(x) = ,(6)

то есть, если х - независимая переменная, то производная функции в точке х равна отношению дифференциала этой функции в точке х к дифференциалу независимой переменной.

Примеры:

d(sin x) = cos x dx,

d sin = dx,

d sin =  = .

d sin = 0 для любого dx.

Правила дифференцирования.

Теорема 4.2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, то их сумма, разность, произведение, частное(при условии v(x)  0) также дифференцируемы в точке х, и справедливы равенства:

[u(x)  v(x)]' = u'(x)  v'(x).

[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

= (v(x)  0)

Доказательство:

Докажем, например формулу 2). Обозначим у = u(x)v(x). Тогда у = u(x+х)v(x+х) - u(x)v(x) = [u(x + х) - u(x)]v(x+ х) + u(x)[v(x + х) - v(x)] = uv(x + х) + u(x) v.

Поэтому = v(x +х) + u(x) Отсюда получаем:

    при х  0

u'(x) v(x) u(x) v'(x).

= u'(x)v(x) + u(x)v'(x), то есть y' = (uv)' = u'v + uv'. Формула 2) доказана.

Остальные формулы докажите самостоятельно.

Следствие: Если с = const, то (c(y(x)))' = cy'(x).

Примеры:

1)(tg x)' = = = = .

Итак, (tg x)' = .

2) (ctg x)' = - - (доказать самостоятельно).

Ответ №17

Достаточные признаки монотонности функции.

Если  f ’( x ) > 0  в каждой точке интервала ( a, b ), то функция  f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если  f ’( x ) < 0  в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция  f ( x ) убывает на этом интервале.

 

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0  или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

 

                                 

Следовательно, функция возрастает на интервалах (   0 ) и ( 1, +  и убывает на интервале ( 0, 1 ). Точка  x = 0 не входит в областьопределения функции, но по мере приближения  x  к  0 слагаемое  x ^2  неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке  x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ) .

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует,называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис.5а,б).

В точках x₁ , x₂ ( рис.5a ) и x₃ ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x₁ , x₂ ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

 

Необходимое условие экстремума. Если x₀ - точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x₀)=0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x ³ равна 0 при  x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

С другой стороны, функция  y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке  x = 0 , но в этой точке производной не существует.

 

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с плюса на минус, то  x₀  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x₀  - точка минимума.