Решение:

1. Определим по параметрическим уравнениям движения зависимость между Х и Y в координатной форме.

Из уравнения определим . Тогда , . Характер зависимости между Х и Y – парабола с крайней левой точкой на перегибе параболы Х=2, Y=0 и направленной своими ветвями вдоль оси Х вправо.

2 . Определим направление движения на параболе, найдя координаты точки М на секунде и в начальный момент движения, при сек:

при сек: см, см;

и при сек: см, и см.

Тоесть движение точки М по параболе происходит вправо вниз против часовой стрелки.

3. Определим уравнения скорости в момент времени сек.

см/с, см/с.

Так как проекции скорости на оси Х и Y в момент времени равны: см/с, см/с , то скорость точки М этот в момент равна по модулю: см/с.

Так как точка движется вниз и вправо (против часовой стрелки) то вектор скорости направлен по касательной к параболе траектории точки также вниз и вправо.

4. Определим проекции вектора ускорения точки на оси Х и Y .

см/с² и см/с².

Тогда модуль ускорения точки равен см/с². Так как модуль ускорения не зависит от времени то и для момента времени он также равен см/с². То есть точка движется равноускоренно.

Определим нормальное и касательное ускорение.

Модуль касательного ускорения в момент времени сек можно определить по формуле:

так как то см/с².

Нормальное ускорение точки можно определить по формуле:

либо по формуле .

Определим нормальное ускорение точки в момент времени сек: см/с².

Проверим этот результат по формуле см/с². Результат совпадает - расчёт верен.

5. Определим радиус кривизны траектории точки М в момент времени сек.

Так как , то радиус кривизны равен .

Тогда см.

Траектория движения точки в виде параболы:

Вывод:

см, см, см/с, см/с, см/с, см/с² и см/с², см/с², см/с², см/с², см.

Пример выполнения: Контрольная Работа К-1 Вариант 9:

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Вариант	Уравнения движения		сек
	, см	, см
9			2

Решение

1. Определим траекторию, исключив из параметрических уравнений движения время.

Для этого преобразуем параметрические уравнения, выделив в одном из них время и подставив его значение во второе параметрическое уравнение.

Параметрические уравнения: , , преобразуем второе:

, подставим его в первое уравнение: или либо . Это уравнение гиперболы. Покажем ветки гиперболы в декартовой системе координат.

Чтобы определить направление движения точки М найдём координаты точки в момент сек: см, и .

Н айдём, также, координату точки М в момент сек:

см, и см,

Следовательно точка М движется по левой ветви гиперболы слева вправо и вверх.

2. Определим скорость точки в момент см.

см/сек,

тогда см/сек.

см/сек, тогда см/сек.

Модуль скорости равен: см/сек.

3. Определим проекции ускорения точки М на декартовые оси координат.

см/сек².

Тогда см/сек².

, тогда и см/сек².

Модуль ускорения равен: см/сек².

4. Определим касательное и нормальное ускорения:

Нормальное ускорение точки можно определить по формуле:

либо по формуле .

Определим нормальное ускорение точки в момент времени сек: см/с².

Проверим этот результат по формуле см/с².

Результат совпадает - расчёт верен.

5. Определим радиус кривизны траектории точки М в момент времени сек.

Так как , то радиус кривизны равен .

Тогда см.

Пример выполнения: Контрольная Работа К-1 Вариант 18:

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Вариант	Уравнения движения		сек
	, см	, см
18			1