2. Равновесие плоских систем произвольно расположенных сил
2.1 Расчётно-графические задачи по монолитным (без разъёма) плоским ферменным конструкциям, нагруженным произвольными плоскими системами сил. (Приложение №4 к настоящему Методическому пособию)
Расчетно-графическая задача №8-б:
Дано:
Консольная конструкция, жестко заделанная в горизонтальный фундамент. К ней приложена плоская система сил и моментов, изображенная на эскизе.
Требуется:
Определить реакцию жесткой заделки в точке А.
Р
ешение:
Отбросим жесткую заделку в т А, заменив ее реакциями жесткой заделки XA, YA и моментом МА. Мы получили плоскую уравновешенную систему сил, состоящую из приложенных к консоли заданных сил и моментов P, q, m, и реакций связи А - XA, и YA и момента МА .
Данная система сил имеет три неизвестные
– искомые реакции связи. Для ее решения
составим три уравнения: (А)
Оси X,Y
выбираем таким образом, чтобы в искомых
равенствах получить минимальное
количество неизвестных. В нашем случае
наиболее удобной точкой начала координат
будет точка А. Перед составлением
равенств (А) упростим систему заданных
сил: распределенную нагрузку q
приведем к сосредоточенной силе, равной
с расстоянием от оси X
равным
,
силу Р заменим двумя ее проекциями на
оси X,Y:
.
откуда
откуда
откуда
Таким образом мы нашли все три реакции
опоры А.
Расчетно-графическая задача№25-б:
Дано: горизонтальная балка на двух опорах: шарнире в т В и плавающей опоре в т А (имеющей только вертикальную реакцию, вдоль своего стержня). К балке приложена система сил и моментов, указанных на эскизе.
Требуется: определить реакцию плавающей опоры в точке А XA и реакции шарнира В XB и YB.
Решение: Отбросим обе опоры В и А,
заменив их реакциями опор: XB
, YB и
XA.
Выберем систему координат с началом в
точке В (такое расположение системы
координат позволяет исключить из
уравнений (А) максимальное количество
неизвестных). Приведем распределенную
нагрузку q к силе
.
Силу Р, для простоты нахождения плеч,
будем учитывать, как состоящую из двух
ее проекций на оси X и Y.
Решим систему уравнений (А):
где
где
,
(В) в уравнении моментов возьмем точку
В:
где
,
зная
из уравнения (В)
находим окончательно реакцию опоры:
Таким образом, мы определили все три реакции опор.
Остальные задачи приложения №5 предлагается решить самостоятельно.
2.2 Контрольная работа с-3
Определение реакций опор составных конструкций (система двух тел)
(приложение №3 к МП – II семестр)
Пример выполнения задания (КР С-3) №5.
Плоская ферменная конструкция состоит из двух частей с разъёмом по шарниру С.
Определить реакции опор А, В и шарнира С, если на ферму действует показанная на рисунке система сил и моментов.
Дано:
кН,
кН∙м,
кН/м
Определить:
,
,
,
,
,
Решение
1. Отбросим опоры А и В и заменим их реакциями опор , , , .
Рассмотрим равновесие плоской системы сил и реакций опор, приложенных к ферменной конструкции в целом.
1)
кН,
2)
,
где
кН,
3)
кН.
Имеем 3 уравнения и 4 неизвестных. Для нахождения всех 6 неизвестных расчленим ферму по шарниру С и отбросим левую часть, приложив к точке С реакции отброшенной левой части , . Рассмотрим равновесие правой части фермы СВ:
4)
,
5)
,
6)
.
Из этих 6 уравнений находим 6 неизвестных:
Из уравнения 6) находим:
Из
уравнения 5) находим:
кН,
Из уравнения 4) находим:
кН,
Из уравнения 3) находим:
или
кН∙м.
Из уравнения 2) находим:
кН,
Из уравнения 1) находим:
кН,
Выполним проверку полученных результатов, найдя сумму моментов всех сил вокруг шарнира С ферменной конструкции:
,
подставим значения всех сил, моментов
и реакций:
Равновесие системы сил подтверждено. Реакции опор найдены правильно.
Вывод:
кН,
кН,
кН∙м,
кН,
кН,
кН.
Пример выполнения задания (КР С-3) №9.
Плоская ферменная конструкция состоит из двух частей с разъёмом по шарниру С.
Определить реакции опор А, В и шарнира С, если на ферму действует показанная на рисунке и в таблице система сил и моментов.
Дано:
кН,
кН∙м,
кН/м
Определить:
,
,
,
,
,
.
Решение:
1. Отбросим опоры А и В и заменим их
реакциями
,
,
,
.
Составим три уравнения равновесия для
плоской ферменной конструкции в целом,
к которой приложены активные сила
,
момент
и распределённая нагрузка
и пассивные реакции опор
,
,
,
.
1)
,
2)
,
где
кН,
3)
,
Расчленим ферменную конструкцию по шарниру С, приложим в точке С реакции в этом шарнире от воздействия левой части – звена АС , и составим три уравнения равновесия активных сил и реакций опор для звена СВ.
4)
,
5)
,
6)
,
Определение неизвестных реакций осуществим в следующей последовательности:
Из уравнения 3) находим
Из уравнения 6) находим
Из уравнения 5) находим
:
,
Из уравнения 4) находим
:
кН,
Из уравнения 2) находим
:
кН,
Из уравнения 1) находим
:
кН.
Выполним проверку несколькими способами, подставив полученные значения реакций в уравнение 1):
,
в уравнение 2):
в уравнение 4)
в уравнение 5)
Во всех случаях равновесие подтвердилось.
Можно также составить, вместо предыдущих уравнений, одно уравнение равновесия моментов для конструкции фермы в целом вокруг шарнира С:
Результат подтвердился. Реакции опор найдены верно.
Вывод:
кН,
кН,
кН,
кН,
кН,
кН.
Пример выполнения задания (КР С-3) №15.
П
лоская
ферменная конструкция состоит из двух
частей с разъёмом по шарниру С.
Определить реакции опор А, В и шарнира С, если на ферму действует показанная на рисунке и в таблице система сил и моментов.
Дано:
кН,
кН,
кН∙м,
кН/м
Определить:
,
,
,
,
,
Решение
Отбросим опоры А и В, заменив их действие реакциями этих опор , , , . Составим три уравнения равновесия плоской системы сил и реакций опор:
1)
,
2)
,
где
,
3)
.
Мы имеем 3 уравнения и 4 неизвестных. Система уравнений статически неопределима.
Расчленим ферменную конструкцию по шарниру С, отбросив правую часть и заменив её действие реакциями в шарнире С , .
Рассмотрим отдельно равновесие левой части ферменной конструкции:
4)
,
5)
,
6)
.
Мы имеем 6 уравнений и 6 неизвестных. Эта система уже решаема.
Из уравнения 6) находим
Из уравнения 5) находим
Из уравнения 4) находим
Из уравнения 3) находим
Из уравнения 2) находим
или
Из уравнения 1) находим
.
Выполним проверку найденных решений, определив сумму моментов вокруг шарнира С:
Результат верный.
Выводы:
кН,
кН∙м,
кН,
кН,
кН,
кН.