3. Равновесие пространственных систем произвольно расположенных сил.

3.1 Контрольная работа. С-7. Определение реакций опор пространственной ферменной конструкции, нагруженной произвольной пространственной системой сил. (смотри приложение №7 к настоящему «Методическому пособию…»).

Дано: Н, Н, см, см, см.

Найти: реакции опор плиты NQCK (усилия в раскосах и стойках №№ 1 - 6). Схема ферменной конструкции показана на рисунке.

Методика решения задачи:

При решении задач, связаных с определением пространственной системы реакций опор ферменной конструкции, нагруженной произвольной пространственной системой сил, применим шесть уравнений равновесия:

Три уравнения равновесия сил в проекциях на оси декартовых координат: 1) , 2) , 3) , и

Три уравнения равновесия моментов в проекциях моментов сил вокруг осей декартовых координат:

4) , 5) , 6) .

Указанная на картинке горизонтальная плита NDCK имеет вес G и к ней приложена в точке D горизонтальная сила Q. Плита опирается на шесть опор - стержней: наклонные раскосы 1, 3, 5, 6 и вертикальные стойки 2, 4.

Условимся считать все стойки сжатыми. В этом случае реакции в стойках и раскосах направлены в сторону плиты – т.е. вверх. На рисунке направления реакций опор показаны красными векторами , , , , , .

Для пространственной системы сил можно составить 6 уравнений равновесия, не расчленяя эту пространственную систему. В принципе, выбор координат декартовой системы, при этом, не имеет существенного значения, так как при 6 неизвестных мы имеем возможность составить для пространственной системы 6 уравнений равновесия. Поэтому выберем за начало декартовой системы точку О.

Для нахождения шести усилий в раскосах и стойках пространственной системы сил составим 6 уравнений равновесия:

- три уравнения проекций заданных сил и реакций опор на оси декартовых координат

1.

2.

3. и

- три уравнения моментов заданных сил и реакций опор вокруг осей декартовых координат

4.

5.

6.

Определим предварительно косинусы и синусы углов наклона раскосов 1, 3, 5, 6:

, ,

,

Из (1) определяем (7)

Из (2) определяем (8)

Из (5) определяем (9)

Подставим (9) в (3):

или (10)

Подставим (9) в (4):

или (11)

Подставим (7) в (10):

или или (12)

умножим (12) на b и подставим в (11):

или с учётом (7) находим и : , (13)

из (6) находим : , (14)

из (5) находим : , (15)

из (8) или из (2) находим : (16)

из (12) находим : , (17)

Подставив найденные значения реакций опор в уравнение (3), окончательно проверяем правильность вычислений ( в уравнении 3 присутствуют все 6 реакций опор):

Как видно из указанных вычислений, процедура определения реакций опор довольно громоздка и требует некоторой изобретательности.

Проверим возможность упрощения вычислений за счёт изменения расположения декартовой системы координат. Поместим начало координат в точку В. Составим 6 уравнений равновесия пространственной системы сил:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Из (4) находим :

Из (1) находим :

Из (6) находим :

Из (5) находим :

Из (2) находим :

Из (3) находим :

упростим это равенство:

Все реакции опор совпадают с первым вариантом расположения декартовых координат. Тоесть:

Мы существенно упростили процесс определения реакций опор изменив положение начала декартовых координат.

Так как получили реакции опор , и со знаком минус, значит эти опоры оказались растянутыми.