Решение

Так как обёмное тело однородное и легко расчленяется на простейшие фигуры, то для определения координат центра тяжести тела применим метод статических моментов объёмов.

1. Расчленим тело на три простейшие фигуры:

- №1 прямоугольний паралепипед со сторонами см.

- №2 паралепипед с треугольной боковой гранью имеющей основание 40 см и высоту 10 см, горизонтальным основанием см, и торцевой вертикальной квадратной гранью .

- №3 цилиндрическое отверстие, с диаметром основания 5 см и высотой 15 см.

2. Определим объёмы простейших фигур:

- Паралепипеда №1: см³.

- Треугольного паралепипеда №2: см³.

- Цилиндрического отверстия №3: см³.

3. Определим координаты центров тяжести простейших фигур:

- Паралепипеда №1: ЦТ находится на пересечении больших диагоналей паралепипеда, см, см, см.

- Треугольного паралепипеда №2:

см, см, см.

- Цилиндрического отверстия №3: см, см, см.

4. Занесём результаты по п. 2 и 3 в сводную таблицу 2, рассчитаем статические моменты объёмов простейших фигур и просуммируем объёмы и статические моменты.

таблица 2

№ фигуры	Прямоугольный паралепипед №1	Треугольный паралепипед №2	Цилиндрическое отверстие №3	Для всей фигуры

5. Определим координаты центра тяжести (объёма) пространственного тела:

см, см,

см.

Вывод: см, см, см.

Раздел II.

5. Кинематика материальной точки (модуль №3)

5.1 Примеры решения типовых задач раздела кинематика точки

Пример выполнения: Контрольная работа К-1 (Приложение №11 МП II семестр)

Вариант 1

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.

Исходные данные:

Известны параметрические уравнения движения точки М в координатной форме:

(1) момент времени

Определить:

1. Вид траектории движения точки М,

2. Найти положение точки для момента времени ,

3. Найти скорость точки для момента времени ,

4. Найти полное, касательное и нормальное ускорения для момента времени ,

5. Найти радиус кривизны траектории для момента времени ,

Решение:

1. Для определения траектории точки М исключим из параметрических уравнений движения точки (1) время :

тогда , т.е. траекторией является парабола, показанная на рис 67.

2. Положение точки в момент времени получим, подставив в уравнения (1) значение времени

3. Скорость точки находим дифференцируя по времени уравнения (1)

4. Находим полное ускорение, дважды дифференцируя уравнения (1):

и полное ускорение

модуль касательного ускорения: ,

модуль нормального ускорения: см/сек².

проверка величины полного ускорения: значения a по двум системам координат совпали.

5. Радиус кривизны траектории в точке, где находим по формуле:

Рассмотрим вариант задачи, когда параметрические уравнения движения заданы тригонометрической функцией:

Пример выполнения: Контрольная Работа К-1 Вариант 5:

Исходные данные:

Известны параметрические уравнения движения точки М в координатной форме:

(1) момент времени

Определить:

1. Вид траектории движения точки М,

2. Найти положение точки для момента времени ,

3. Найти скорость точки для момента времени ,

4. Найти полное, касательное и нормальное ускорения для момента времени ,

5. Найти радиус кривизны траектории для момента времени ,

Решение:

1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) параметр времени:

для этого вспомним, что . В уравнениях (1) перенесем в левую часть синус и косинус, оба уравнения возведем в квадрат и сложим левые и правые части соответственно:

или

мы получили уравнение траектории в форме эллипса.

2. Положение точки находим, подставляя в уравнения (1) время

найдём также положение точки в момент времени

, .

Таким образом направление движения точки М против часовой стрелки.

3. Находим скорость, дифференцируя уравнения (1)

4. Находим ускорения, дифференцируя дважды уравнения (1)

5. Радиус кривизны траектории в точке, где находим по формуле: где известны скорость и нормальное ускорение.

Пример выполнения: Контрольная Работа К-1 Вариант 6:

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Вариант	Уравнения движения		сек
	, см	, см
6			1/2