Определение доверительных интервалов оценок генеральных характеристик

Для каждой статистической характеристики, вычисленной по результатам выборки, следует указывать точность оценки. Эта точность содержится в доверительном интервале. В этом случае замена генеральной характеристики ее оценкой делается с определенной достоверностью (доверительной вероятностью). Она характеризует степень нашего доверия к анализируемым результатам. Обычно достоверность, которую обозначим через Р, выбирается близко к единице (0,9; 0,95; 0,99). Она получается вычитанием из единицы величины уровня значимости коэффициентом риска β.

Строго говоря, достоверность – это вероятность того, что оцениваемый параметр лежит между доверительными границами.

В случае точечной оценки М(х) с помощью для гауссовского закона распределения случайной величины Х эта взаимосвязь количественно определяется теоремой Ляпунова

Теорема: С вероятностью, равной Ф₁(), можно утверждать, что при наличие в выборке объема n достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин х_i, которая сравнительно мало отличаются друг от друга, разность между генеральными и выборочными средними арифметическими значениями будет лежать в пределах , т.е. можно записать:

Р{-   М(х) - + } = Ф₁ (),

В данном случае  = - это точность оценки или половина поля допуска; величину выбираем либо по формулам, либо по таблицам относительно α.

Пусть имеется распределенная по закону Гаусса генеральная совокупность с математическим ожиданием М(х) и среднеквадратическим отклонением σ=. Относительно разности М(х) - можно с вероятностью, например, Ф₁() =0,95 утверждать, что она находится в интервале с границами и .

Следовательно, можно записать следующее неравенство:

В ряде случаев величина σ не известна. В этом случае вместо σ используют стандартное отклонение.

.

Однако при замене интервального оцениваемого параметра  значением его оценки на практике встает другая задача: по выборочным характеристикам определить вероятность того, что неизвестное значение генерального среднего стандартного отклонения  будет лежать в заданных пределах , т.е. нужно определить доверительные интервалы для .

,

где Р₁ и Р₂ – вероятности, определяемые по таблицам.

и

и для ₁=₂=n – 1.

Пример. По 15 случайным независимым наблюдениям над величиной Х, имеющей в генеральной совокупности гауссовское распределение, найдено выборочное значение среднего квадратического отклонения, равное 6,7. Спрашивается: с какой вероятностью мы можем утверждать, что  заключено между 6,5 и 6,9?

Решение. Имеем =0,2; n=15; S=6,7.

v=v₁=v₂=n – 1=14.

;

.

Далее по таблице найдем значения Р₁ и Р₂.

Р₁=0,5111; Р₂=0,3875

Р₁- Р₂=0,1236

Следовательно, с точностью =0,2 и вероятностью Р=0,1236 можно записать, что 6,7. Если взять меньшую точность (т.е. большее значение ), то получилось соответственно и большее значение вероятности.

Оценка генеральной средней м(х) с помощью среднего значения выборки

Предположим, что значения параметра качества генеральной совокупности распределены по закону Гаусса.

1. Установление двустороннего критерия для среднего значения , когда  и М(х) известны.

Предположим, что заказчику сдается партия электронных средств объемом N=10000 изделий. В соответствие с контрактом время безотказной работы должно быть не менее М(х)=14600 ч. При этом время отказа изделий t₀=14000 ч.

Для определения этой партии установленным требованиям возьмем выборку n=100 изделий. Проведем ускоренные испытания на отказ. Получили:

=14,591.

Для определения  возьмем  → и → .

Тогда =.

=14600-14000=600ч.

Выберем по таблице =3,0, значит, =3. В результате получим:

Р{ -   М(х)  + } = Ф₁ (),

где Ф₁ () – вероятность того, что искомое значение М(х) будет лежать в указанных пределах.

Ф₁ ()=0,99

=2,58

Определим минимальное значение М(х):

ч.

Вывод: следовательно, данная партия изделий соответствует требованиям контракта.

При контроле качества технологического процесса производства электронных средств средняя арифметическая характеризует степень отлаженности технологического процесса. По величине можно сделать вывод, что имеет место нарушение технологического процесса или нет.

Пример. Имеется технологический процесс производства полупроводниковых микросхем. Производится контроль толщин пластин в процессе шлифовки. Распределение толщин подчиняется закону Гаусса. Допускается брак не более 10% пластин от всей партии. Толщина пластин после шлифовки должна быть М(х)=0,11 мм при среднеквадратическом отклонении =0,01 мм.

Требуется определить величину допустимого отклонения  при контроле технологического процесса шлифовки пластин.

Установим объем выборки n=100.

мм.

Ф₁()=1-0,1=0,9.

Ф()=0,45

Следовательно, =1,65.

=· =1,65-0,001 =0,00165.

Допустимое абсолютное значение определим по формуле:

Р{ М(х) -    М(х) + } = Ф₁ ().

М(х) +  =0,11+1,65·0,001=0,11165 мм,

М(х) -  =0,11-1,65·0,001=0,10835 мм.

Следовательно, производственный процесс шлифовки пластин можно считать удовлетворительным, если среднее значение толщин 0,10835   0,11165. Такая проверка называется двухсторонней.

2. Установление двустороннего критерия для среднего значения , когда М(х) известно, а  неизвестно.

Рассмотрим случай малых выборок: n10. В этом случае взаимосвязь между допустимыми пределами изменения и вероятностью того, что разность между М(х) и окажется в этих пределах, определяется с помощью критерия Стьюдента (или, иначе, t-распределения):

,

;

.

,

где .

Задаваясь необходимой вероятностью (1 - Р), т.е. процентом выхода годных изделий, по таблице для критерия Стьюдента мы можем определить пределы изменения .

Пример. Возьмем исходные данные на операции шлифовки пластин, аналогичные приведенным в примере 1, т.е. М(х)=0,11 мм; должно быть отбраковано не более 10% изделий. Требуется определить величину  при условии, что объем выборки n=9, а толщины пластин (мм) в выборке следующие:

х₁=0,112, х₄=0,116, х₇=0,109,

х₂=0,116, х₅=0,118, х₈=0,114,

х₃=0,108, х₆=0,111, х₉=0,107.

На основании имеющегося распределения:

мм.

мм.

(1—Р)=1 – 0,9=0,1

v=n – 1=9-1=8.

Искомое значение t_T равно 1,86.

мм.

Следовательно, допустимыми границами изменения будут следующие значения:

0,103 мм   0,117 мм.

Если такие разбросы толщины не устраивают, то задача решается в обратном направлении. Задается допустимый разброс, рассчитываем t_T и по значениям ищем вероятность Р.

По мере увеличения объема выборки разница между t – распределением и гауссовским распределением существенно уменьшается. Поэтому можно использовать гауссовское распределение только при небольших выборках.