Уравнения Максвелла

1. div = 4πρ — поток связан с зарядами

2. div = 0 — поскольку магнитных зарядов нет

Впервые Максвелл показал, что величины E и H связаны друг с другом.

1. rot = -

Опыт Фарадея в 30-е гг. XIXв.: если взять магнит и опустить в катушку, то возникнет круговое электрическое поле.

В данном случае электрического поля нет:

И во времени и в пространстве:

rot = -

4. rot = +

добавление Максвелла — ток смещения

Опыт Ампера: если к проводнику с током поднести магнитную стрелку, то она будет отклоняться.

Стрелка отклоняется.

+–

4-ое уравнение незамкнутое

Если имеется среда, то вводятся характеристики материалов:

==, гдеи— тензорные величины.

……………………………………………………………………………………………..

, гдеi,j=1,2,3 — тензор симметричен, следовательно, его можно диагонализировать, то есть выбрать систему координат таким образом, что останутся только диагональные члены.

Величина тензора остается та же самая, а величина ε меняется в зависимости от выбора системы координат.

Если на этих компонентах построить поверхность, то этот геометрический образ будет представлять собой эллипс.

Свойства материала зависят от направления. В различных направлениях свойства материала будут различны.

У любого тела в однородной среде три главных направления, например, у кристалла три главных оси.

Среда, свойства которой не зависят от направления, называется изотропной.

Если среда изотропная, тензор превращается в скаляр, какое-то число ε – поверхность сфера радиусом ε.

Например, скорость распространения света в среде зависит от среды.

V==, где n– показатель преломления

ε– диэлектрическая проницаемость среды.

Среда, которая имеет разные свойства по всем направлениям, называется анизотропная.

Существуют анизотропная среда — однороднаяинеоднородная.

Однородный материал– во всех точках среды эллипсы меняют свои свойства от координат одинаково.

Если в каждой точке среды эллипс поменяет свои значения и направление, то материал неоднородный.

Анизотропная среда

три главных оси:ε1, ε2, ε3

Поверхность – эллипсоид; если провести любые сечения нашего объекта, то будут сложные сечения, если же провести центральные сечения – будет эллипс.

Но есть два сечения, которые представляют собой окружность . Перпендикуляры к этим сечениям называются осями данных кристаллов, так как сечений таких два, то и осей тоже две, следовательно, такая среда называетсядвуосная.

ε1 > ε2 > ε3

Если ε1 = ε2 ε3 , то это одноосный кристалл, так называемый эллипсоидвращения.

Если ε1 = ε2 = ε3, то это изотропный материал, сфера (волновой фронт будет сферической поверхностью).

Скорость распространения волн в такой среде одинаковая, то есть, на выходе нет никаких изменений.

Скорость распространения электромагнитной волны в среде:

анизотропный материал

Это означает, что когда электромагнитную волну направляют на среду, то в ней возникает другая волна, связанная со средой – . Если материал будет анизотропный, то вектораине совпадут ни по направлению, ни по величине.

В изотропном же материале эти вектора не совпадут только по величине:

Если свет пропустить через анизотропный кристалл, то его луч «расщепится» на два; если смотреть на изображение, то увидим два смещенных изображения.

ε11 , ε22 , ε33 — квазиглавные.

Пусть вектор лежит в плоскостиzoxпроизвольно. При определенных направлениях векторсовпадает с осями, которые перпендикулярны сечениям-окружностям. Векторнаправлен перпендикулярно вектору, так как волна поперечная.

Рассмотрим эллипс (перпендикулярное сечение к вектору). Допустим, что оси эллипса совпадут с этой системой координат. Луч света направлен по оси x (y). Вектор направлен на нас.Вектор направлен произвольно в плоскости листа. Поскольку волна поперечная, то (раскладывается на две составляющие – квазиглавные оси –и) в среде начинают идти две волны, которые являются линейно поляризованными, но с плоскостями поляризации взаимно ортогональными.

Возникают две волны, идущие с разными скоростями:

Рассмотрим границу раздела двух сред:

–вакуум (изотропная среда)

–анизотропная среда ()

Закон Снелля (закон преломления): преломленный луч лежит в плоскости падения и образует с нормалью к границе раздела, восстановленной в точке падения, угол β1 (β2) – угол преломления – такой, что:

На выходе эти два луча будут параллельны.

На выходе компоненты векторову данных лучей будут

перпендикулярно ориентированны в пространстве.

……………………………………………………………………………………………..

Уравнения Максвелла в среде

1. 

2. 

3. 

4. rotВ = +

V==— скорость света в среде.

Электромагнитная волна

Волна— это процесс распространения колебаний в пространстве.

Волны бывают поперечны и продольные.

Поперечной волнойназывается волна, частицы среды в которой колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.

Продольной волнойназывается волна, частицы среды в которой колеблются вдоль направления распространения волны.

Процесс распространения колебаний электрического и магнитного полей в пространстве называетсяэлектромагнитной волной.

- направление распространения волны

Разложение в ряд Фурье: любую функцию можно

представить суммой гармоник.

Решение уравнения Максвелла можно представить в виде гармонических функций.

Величинами, изменяющимися по гармоническому закону в монохроматической волне, являются вектора и. Они синфазны: как только=max =maxи наоборот.

Характеристики гармонической волны:

ω, Τ, ,λ, ƒ, φ,,

Круговая (циклическая) частота – это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π единиц времени:

Период колебаний–промежуток времени, через который колебания в некоторую точку приходят в фазе:

Частота колебаний– число полных колебаний в единицу времени:

Амплитуда колебаний– максимальное значение колеблющейся по определенному закону величины:.

Фаза колебанийопределяет значение колеблющейся точки в произвольный момент времениtи измеряется углом, стоящим под знаком синуса:,- начальная фаза колебаний.

Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний Т частиц в среде:

Скорость распространения волны:, где

с – скорость света – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме

n– показатель преломления среды

ε – диэлектрическая проницаемость среды

μ – магнитная проницаемость среды.

Волновое число:, где– единичный вектор нормали к поверхности волнового фронта.

Волновым вектором называется вектор, по модулю равный волновому числуkи направлением, совпадающим с направлением распространения волны.

Электромагнитные волны поперечны:, образуют правую тройку векторов.

Взаимно перпендикулярные вектора иколеблются в одной фазе — они одновременно достигают максимальных значений.

Волна бежит, а частичка колеблется относительно положения равновесия. Амплитуда в пространстве может быть ориентирована в различных направлениях.

Если амплитуда колебания электромагнитной волны изменяется вдоль линии, то такая волна называется линейно поляризованной.

Если рассматривать плоскость, то — плоско поляризованная волна.

Плоская волна— волна, у которойволновые поверхностиявляются плоскостями.

Фронт волны(волновой фронт) — это геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времениt.

Фронт волны представляет ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Волновая поверхность— геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время движется.

Фаза волны может быть пространственная и временная. Это значение амплитуды в данный момент времени или в данной точке пространства, выраженное в радианах.

В общем случае волна записывается таким образом:

, где- пространственное значение фазы

- волновой вектор,

- временное значение фазы

- начальная фаза

, где- вектор нормали к волновому фронту. Он (вектор) указывает направление распространения волны.

Сферической волной называется волна, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер.

В сферической волне совпадает по направлению с.

Прямоугольный пучок света

– произвольная поверхность

– перпендикулярно плоскости всегда

- радиус-вектор

Рисуем в двумерном пространстве, смотрим от оси x:

Фаза в плоскости все время будет одна и та же. Для сферических волн ибудут все время совпадать, поэтому, т.к.cos=1.