18) Модели-аналоги и авм.

Под аналоговой вычислительной техникой (АВТ) понимается такая область развития науки и техники, которая включает в себя аналоговое вычисление, принципы построения и конструирования аналоговых вычислительных средств.

Из этого определения ясно, что данная область использует понятие аналоговой величины, суть которой - физические величины (токи, напряжение), которые можно измерить теми или иными приборами, и которые моделируют переменные решаемой задачи при определенном масштабе соотношения между ними.

Аналоговое вычисление является определенной ветвью общего метода исследования окружающей действительности. Это такой метод моделирования, который предполагает исследование физических явлений и процессов на некоторых специально созданных для этой цели объектах, которые мы будем называть моделями. Модели являются материальными носителями аналоговых величин. Например, если существуют два сходных по каким-либо признакам явления, то одно можно считать объектом исследования, а другое – моделью первого.

Пример 1.

Рассмотрим цепь электрического тока, состоящую из резисторов.

Рис. 7.1. Цепь электрического тока для иллюстрации примера 1

I₂

I₃

I₀

A₁₃

A₁₀

A₂₃

A₁₂

A₃₀

A₂₀

I₁

A_ij-прводимость между A_ij и A_kl.

Под соответствующей проводимостью A_ii понимается сумма :

I_i -величина тока.

Каждый узел имеет соответствующий потенциал (напряжение). Если мы подключим все внешние токи, то установятся соответствующие постоянные величины , которые определят растекание тока по цепи.

Процесс распределения тока по цепи имеет следующее выражение:

Полагаем, что U₀=0. В правой части каждого из уравнений находятся соответствующие токи, величины которых известны, а нам необходимо найти напряжение соответствующих точек, которые образуются в результате движения соответствующих токов.

Электрическая схема постоянного тока – это аналоговая система, позволяющая моделировать некую другую реальность, которая описывается системой линейных уравнений.

Пример 2.

Рассмотрим пример, связанный с решением дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

, x > 0

и с начальными нулевыми условиями.

Для решения этого уравнения используется метод понижения производных. Выделим старшую производную, а все оставшиеся члены уравнения перенесем в правую часть.

Получим: .

Применим преобразование Лапласа: .

1

2

3

f

0.5

0.1

0.3

-x

-px

x(t)

Рис. 7.2. Схема АВМ для решения дифференциального уравнения

Данное уравнение позволяет уже построить модель АВМ. Выглядит она следующим образом:

Данная блок-схема содержит три усилителя, которые выполняют определенные операции. Первый и второй – это интеграторы, которые производят интегрирование дифференциальных уравнений. Первый отличается от второго тем, что он на входе суммирует слагаемые. Искомую переменную получаем в точке x(t). Третий усилитель называется масштабирующим или инвертором, который инвертирует знак для того, чтобы мы могли получить необходимый нам знак.

Как только мы построили такую модель, мы имеем возможность непосредственным образом, варьируя коэффициенты или задавая другую правую часть уравнения, собрать соответствующую схему и, запустив ее в действие, будем иметь результат.

Рассмотрим более детально некоторые части схемы.

1. Интегратор выполняет следующую функцию :

U_вых - напряжение на выходе , а U_вх - напряжение на входе.

Этот интегро-сумматор позволяет вычислить сумму соответствующих m_j от поступающих напряжений , где m_j –это коэффициент передачи интегратора по j-ому входу.

, где С - емкость, а R_j - входное сопротивление.

Данный блок строится по следующей схеме:

U₁

U₂

U_n

R₁

R₂

R_n

U_вых

Рис. 7.3. Электрическая схема интегро-сумматора

Каждый блок обязательно осуществляет операцию инвертирования.

2. Третий блок строится по такой схеме:

R₂

R₁

U_вых

U_вх

Рис. 7.4. Электрическая схема усилителя-инвертора

В данном случае U_вых = - U_вх.

Усилитель позволяет передавать величину с соответствующим коэффициентом. Если R₁ = R₂, тогда будет выполняться просто операция инвертирования.

Для реализации машинной модели некоторой реальной системы обычно используют такие блоки АВМ:

• блок интегрирования – интегратор

• блок суммирования – сумматор

• блок, осуществляющий умножение постоянных или переменных коэффициентов

• блок умножения и деления (эти операции для аналоговых машин нетривиальны)

• блоки реализации нелинейных функций, которые задают правую часть соответствующего дифференциального уравнения

• блоки временного запаздывания

• блоки сравнения

Построение линейных разрешающих блоков.

В АВМ в качестве решающего блока используется операционный усилитель, построенный по схеме дифференциального усилителя, имеющего один выход и два дифференциальных входа ().



Вых

Вх

Рис. 7.5. Блок дифференциального усилителя

Коэффициенты усиления по каждому входу одинаковы, но обратные по знаку.

Таким образом, решающий блок АВМ – это операционный усилитель с большим коэффициентом усиления, охваченный цепью отрицательной обратной связью.

Тогда мы можем функцию преобразования соответствующим операционным усилителем представить следующей схемой:

W₁(p)

W₂(p)

W₃(p)

U_вх

U_Σ

U_вых

Рис. 7.6. Схема функции преобразования, осуществляемой операционным усилителем

На данной схеме W₃(p) – операционный усилитель.

В общем случае передаточная функция описывается так: .

Пример 3.

Рассмотрим частный случай – моделирование апериодического звена, модель которого представлена следующей схемой:

R₁

C

R₂

U_вх

U_вых

Рис. 7.7. Электрическая схема, моделирующая апериодическое звено

Обозначим проводимости как Y1 ,Y2.

Тогда имеем следующие формулы для этих проводимостей:

Передаточная функция будет иметь вид : ,

где