Техника вычисления определенного инте­грала

Общее правило:

1. Найти неопределенный интеграл, т. е. перво­образную функцию.

2. Найти разность первообразных функций при подстановке верхнего и нижнего пределов.

Пример: ∫¹₀ (l – x)^1/2dx = -∫⁰₁ z^1/2dz = -2/3z^3/2|⁰₁ = 2/3

z = 1 - х, dx = -dz

Пример: Вычислить площадь фигуры, заклю­ченную между функцией у = х² в интер­вале от 1 до 2.

S= ∫²₁ x²dx = x³/3│²₁ = 2³/3 – 1³/3 =8/3 – 1/3 = 7/3 кв.ед.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальными уравнениями описыва­ются различные процессы и явления в физике, химии, биологии и медицине. Они позволяют, в частности, определять изменение состояния различ­ных биологических систем со временем, создавать и анализиро­вать математические модели многих функциональных систем че­ловека.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую пере­менную х, искомую функцию и ее производные.

F(x, y, y`_x, y``_x, ...) = 0.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция f(x), которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение имеет бесчислен­ное множе­ство решений. Чтобы получить единичное решение, необходимо задать началь­ные условия (х = х₀), у(х₀) = у₀.

Общим решением дифференциального уравне­ния называется функция у = f(x,C), которая зависит от произвольной постоянной С. Частным решением дифференциального уравнения называет­ся любая функция у = f(x), которая получается из общего реше­ния, если в последнем произвольному постоянному С придать опреде­ленное значение С_о, которое определяется начальными ус­ловиями.

Пример: дано равенство y`_х ⁼ 2х, dy/dx = 2х или dy = 2xdx .

Можно найти уравнение кривой, т.е. выразить переменную у как функцию от х. Для этого интегрируем левую и правую части: ∫dy = 2∫xdx, получаем у = х² + С, где С произвольная посто­янная. При любом значении постоянной С дифференциал выражения dy = 2x dx, при замене у выражением х² + С, приводит к тожде­ству d(x² + С) = 2х dx. Таким образом, решением уравне­ния служит не одна, а бес­численное множество функций, определяемых выражением х² + С и отличающихся только значением постоянной С.

Дифференциальные уравнения с разделен­ными и разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение типа f(x)dx + f(y)dy=0 называ­ется уравнением с разделенными переменными. Решение определяется интегриро­ванием: ∫f(x)dx + ∫f(y)dy = 0

Пример: xdx + ydy = 0, ydy = -xdx, ∫ydy = - xdx, y²/ = x²/2 + C или y²/2 + x²/2 = C²/2

Дифференциальные уравнения типа f(x)f(y)dx + φ(x)φ(y)dy = 0 называются дифференциаль­ными уравнениями с разделяющи­мися пере­менными.

Их можно привести к уравнениям с разделен­ными перемен­ными, разделив на f (у)φ(х).

тогда (f(x)f(y)dx)/(f(y)φ(x) + φ(x)φ(y)dy)/f(y)φ(x), получим

f(x)/φ + φ(y)f(y)dy

∫f(x)/φ(x)dx + ∫φ(y)/f(y)dy + 0

Пример: ydx - xdy = 0 , разделим на

ydx/xy - xdy/xy = 0, dx/x – dy/y = 0, ∫dy/y = ∫dx/x,

ln у = ln x + lnС, ln у - In С = ln x, lny/C = In x, x/C = x, y = Cx