Некоторые правила нахождения производ­ных

1. Постоянная величина выносится за знак производной.

y = Cf(x), y'_x= C[f(x)]' y = 2/5x⁵, y'_x=2/5[x⁵] = 2/55x⁴ =2 x⁴

2. Производная суммы или разности функций равна сумме или разности производных.

y = u ± v, y'_x =u`_х ± v'_x , y = 3x² + lnx, y'_x = 3 * 2x + 1/x = 6x + 1/x

3. Производная произведения двух функций равна произведе­нию производной первой функции на вторую функцию плюс произведе­ние первой функции на производную второй.

y = uv, y_x =u'_xv + v'_xu , y = xsinx,

у`_х =l sinx + x cosx = sin x+x cosx

4. Производная дроби равна также дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя на производную числи­теля и числителя дроби на производную знаменателя, а знамена­тель есть квадрат прежнего знаменателя.

y = u/v, y`<sub>x</sub> = (vu`_x – uv`_x)/v²

y = (3x-1)/x, y`<sub>x</sub> = (x(3x – 1) - (3x – 1)x`)/x² = (3x – 3x + 1)/x² = 1/x²

5. Производная сложной функции.

Пусть у есть функция от аргумента Z, у = f(Z), а аргумент Z есть функция от аргумента X, Z = f(X). Тогда функция у = f[f(x)] называется слож­ной функцией.

Производная cложной функции по независи­мому переменно­му X равна произведению производной этой функции по промежуточ­ному аргументу Z на производную промежу­точно­го аргумента по независимой перемен­ной X.

у'х =y'_z * Z`_x

y=sinx², z = x², y = sinz, y`<sub>z</sub> =cosz, z`x =2x

y_x =y`<sub>z</sub> * z`_x = 2x cosz = 2x cosx² .

Производные второго и высших порядков

Производная от первой производной, если она существует, называется второй производной или производной второго по­рядка.

Обозначение: y``_x = d²y/dx² (де два игрек по де икс дважды).

Пример: у = Зх²+2х-1

Производная I порядка: у_х' = 3 * 2х + 2 * 1- 0 = 6х + 2

Производная II порядка: у_х" = 6 * 1 + 0 = 6

Физический смысл I производной есть мгновен­ная скорость: υ = dS/dt

Физический смысл II производной есть ускорение: a = dυ = d²S/dt²

Точно так же, как производная второго порядка, находятся производные высших порядков (производная от производной пре­дыдущего порядка, если она существует).

Пример:у = х⁶ + е^х

y`_x = dy/dx = 6x⁵ + e^x, y``_x = d²y/dx² = 30x⁴ + e^x, y```_x = d³y/dx³ = 120x³ + e^x,

у_x^IV = d⁴y/dx⁴ = 360х²+е^х, у_х^V = d⁵y/dx⁵ =720х + е^х, у_x ^VI = d⁶y/dx⁶ = 720 +е^x…

С помощью производных первого и второго порядков можно исследовать поведение некото­рых функций.

Возрастание и убывание функции

Если первая производная функции в данном промежутке значений положительна, то функция возрастает, а если первая производ­ная отрицательна, то функция убывает.

П р и м е р: у = 2х² + 4х + 5, у_х' = 4х + 4

При 4х + 4 > 0 т.е. х > -1 функция возрастает,

4х + 4< 0 т.е. х < -1 функция убывает.

При х = -1, у = 2(-1)² + 4(-1) + 5 = 3. В точке х = -1 функция имеет ми­нимальное значение (min).

Точки минимальных и максималь­ных значе­ний функции называются точками экстре­мума.

Исследование функций на экстремум.

У одной функции может быть несколько экстре­мальных точек (т.е. точек max и min).

Функция имеет максимум при х = а, если первая производ­ная в точке равна 0 и при всех х, достаточно близких к а, вы­полняется неравенство f(a) > f(x).

Функция имеет минимум при х = а, если первая производная в точке равна 0 и при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a) < f(x).

Пример: у = х²+1

1. у'_х = 2х

2. y`_x = 2х = 0

х = 0 - точка экст­ремума.

3. а) у(0) = 0² + 1 = 1

б)у(-1) = (-1)²+1 = 2

в)у(1)= 1²+ 1 =2

y(0) < y (±1), следо­вательно в точке х = 0, функция имеет min.

Второе правило нахождения максимумов и минимумов

Если первая производная равна 0 в точке х = а, а вторая производная f'(а) < 0, то в этой точке максимум, а если f'(a)> О, то в этой точке минимум.

Это правило используется тогда, когда вторая производная f'(x) не равна нулю.