Дифференциал функции

Пусть дана функция у = f(x). По определению ее производная

y`_х = lim_∆x→0∆y/∆x

Естественно, сама производная у`_х всегда отлича­ется от от­ношения ∆y/∆x на какую - то малую величину α.

∆y/∆x = y`_x + α. Найдем отсюда ∆у: ∆у = у'_х ∆х + α∆х

Так как величина α∆х ввиду малости α и очень мала, то ею можно пренебречь, поэтому назы­вают главным приращением функции или дифференциалом функции и обозначается dy; т.е. dy = y_x'∆x. Дифференциал аргумента равен его приращению: dx = ∆х, тогда

dy = y`<sub>x</sub>dx, а y`_x = dy/dx

Первая производ­ная равна отношению диф­ференциала функ­ции к дифференциалу аргу­мента.

Из чертежа CD = AC tg α₁, AC = ∆x, a tgα = y`_x (геометри­ческий смысл производ­ной), тогда CD = у'_x dx, но y_x'dx = dy;

CD = dy

Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, соответствующей приращению аргумента ∆х.

Некоторые свойства дифференциала

1. Дифференциал суммы (разности) функций равен сумме (разности) дифференциалов функ­ций.

у = u ± v, dy = du ± dv.

2. Дифференциал произведения двух функций:

у = u * v, dy = vdu + udv.

3. Дифференциал частного двух функций:

y =u/v, dy =( vdu – udv)/v²

4. Дифференциал произведения постоянной величины на функцию.

d(Cy) = Cdy

Неопределенный интеграл

Итак, мы рассмотрели понятие производной, дифференциала, их применение для некоторых конкретных задач. Например: зная путь движе­ния точки можно найти скорость (υ = S`_t = dS / dt). Зная уравнение кривых, можно найти tg α = у_х' в любой точке. Однако часто приходится решать обратную задачу: зная ско­рость, найти путь, зная tg α найти уравнение кривой. Иными сло­вами по производной найти функцию. Практически удобнее отыскивать функцию по ее дифферен­циалу.

Например: Дана производная функции у¹_x=5х⁴ или ее дифференциал dy = 5x⁴dx. Определить саму функцию у = F(x). Та­кую функцию назы­вают первообразной.

Первообразная функ­ция - это функция, кото­рая имеет производную, равную заданной.

Однако для любой функции первообразных бесконечное множество, отличающихся постоян­ной величиной.

Совокупность первообразных F(x) + с, произ­водная кото­рых равна f(x), называется неопре­деленным интегралом и обо­значается:

∫f(x)dx

∫f(x)dx = F(x) + C, если F'_x = f(x)

f(x) - подынтегральная функция

f(x) dx - подынтегральное выражение.

Действия, состоящие в разыскивании неопре­деленного ин­теграла данной функции, называ­ется неопределенным интегри­рованием.

Основные свойства неопределенного инте­грала

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подын­тегральному выражению.

d∫f (x)dx = f (x)dx.

Это свойство следует из определения неопреде­ленного интег­рала.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции ра­вен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.

∫dF(x) = F(x) + C

3. Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

∫αf (x)dx = α∫f(x)dx ,α = const

4. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов каждой функции.

∫ [f₁(x)±f₂(x)+..]dx = ∫f₁(x)dx ± ∫f₂(x)dx ±..

Так же как и для определения производной, наиболее часто встречающиеся интегралы, записываются в виде таблиц.

Таблица неопределенных интегралов

1.∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1+C, n ≠ -1

2. ∫dx/x = lnx + C

3. ∫e^x dx = e^x+C

4. ∫sinxdx = - cosx + C

5. ∫cosxdx = sinx + C

6. ∫dx/cos²x = tgx +C

7. ∫dx/sin²x = -ctgx + C