2.2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)
Часто бывает, что мы имеем дело не с единичным платежом, произведенным в определенный момент времени, а с серией платежей, происходящих в различные моменты времени. Если эти платежи происходят через строго определенные промежутки времени, то такая серия называется аннуитетом.
Платежом k-го периода называется единовременный денежный вклад в этом периоде. Он обозначается через РМТ (payment).
Аннуитеты разделяются на следующие категории: равномерные и неравномерные, обычные и авансовые. Равномерным аннуитетом называется аннуитет, состоящий из серии равновеликих платежей. Противоположностью ему является неравномерный аннуитет, при котором величина платежей может быть разной в различных платежных периодах. Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого платежного периода, и авансовым, если платежи осуществляются в начале платежного периода.
Вторая функция сложного процента показывает, какой будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов, по истечении установленного срока.
Очевидно, что
будущая стоимость по окончании первого
платежного периода (
)
будет равна:
,
далее:
……………………………
В данном случае имеет место геометрическая прогрессия, поэтому, применив известную из курса математики формулу суммы членов геометрической прогрессии, можно получить выражение для будущей стоимости обычного n-периодного аннуитета:
.
Пример. Если вкладывать ежегодно $900 на счет в банке под 10 % годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?
.
Теперь перейдем к рассмотрению авансового аннуитета. Как и в случае обычного, рассмотрим накопленные суммы в конце первого, второго ... n-го периода:
,
,
,
……………………….
.
Применив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
.
Периодические депозиты могут вноситься чаще, чем один раз в год, соответственно чаще накапливается процент. Тогда ранее полученная формула имеет вид:
.
Чем чаще делаются взносы, тем больше накопленная сумма.
Пример. Если вкладывать ежемесячно $75 на счет в банке под 10 % годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?
.
2.3 Фактор фонда возмещения
Данная функция позволяет рассчитать величину периодического платежа, необходимого для накопления нужной суммы по истечении n платежных периодов при заданной ставке процента.
Из формулы будущей стоимости аннуитета можно сделать вывод, что величина каждого платежа (SFF) в случае обычного аннуитета вычисляется следующим образом:
.
Пример. Необходимо за 4 года скопить $1000 при ставке банка 10 %. Сколько придется вкладывать каждый год?
В случае авансового
фонда возмещения (соответствующего
авансовому аннуитету) формула единичного
платежа (
)
имеет вид:
.
2.4 Текущая стоимость единицы (реверсии)
Текущая стоимость единицы – это величина, обратная накопленной сумме единицы, то есть текущая стоимость единицы, которая должна быть получена в будущем:
,
Пример. Сколько нужно вложить на счет в банке, приносящий 10% годовых, чтобы через 5 лет на нем было $100.
.
При более частом накоплении:
.
Чем выше частота дисконтирования, тем меньше необходимая сумма текущей стоимости денежной единицы.