26. Алгебраические критерии устойчивости линейных сау

Алгебраический критерий устойчивости Раусса. 1875г.

Раусс выразил его в форме таблицы. Элементами первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения (полинома), начиная с . Элементы второй - нечетные коэффициенты, начиная с . Элементы последующих строк вычисляются по приведенным формулам.

				=…
			=…	=…
		=…	=…	=…
	и так далее	…	…	…

Итак, характеристический полином , где .

В данной таблице должна быть n+1 строка.

Ниже приведены формулы, используемые при заполнении таблицы.

; ;

;

Если все элементы первого столбца таблицы Раусса положительны (одного знака), то система устойчива. Если хотя бы один элемент отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака равно числу правых корней характеристического уравнения.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, то система находится на границе устойчивости, а характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней.

В случае, когда последний элемент равен нулю, то корень уравнения – нулевой вещественный. При нескольких нулевых последних элементах первого столбца таблицы имеется соответствующее количество нулевых корней характеристического уравнения.

Критерий устойчивости Гурвица. 1895 г.

На основании характеристического уравнения системы

.

строится определитель Гурвица (при ).

Свободные места заполняются нулями.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны.

Диагональные миноры:

;

;

; . . .

Пример 1. Пусть имеется система первого порядка, .

; (или ); ; .

Здесь не абсолютная величина, а определитель!!!

Вывод. Для устойчивости системы первого порядка необходима положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 2. Система второго порядка, n = 2. ; ; должно быть. Откуда .

Вывод. Для устойчивости системы второго порядка достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 3. Система третьего порядка; n = 3.

Вывод: Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения выполнение неравенства: .

СОДЕРЖАНИЕ ВОПРОСОВ ПРОЧИТАНО НЕ БЫЛО((((

ЕСЛИ ВЫ СЧИТАЕТЕ ЧТО ОТВЕТ НА КАОЙ ЛИБО ВОПРОС – ГОВНО, ВИНИТЕ ИНТЕРНЕТ 

18

.Частотные характеристики типовых звеньев.

К простейшим типовым звеньям относятся:

• усилительное,

• инерционное (апериодическое 1-го порядка),

• интегрирующие (реальное и идеальное),

• дифференцирующие (реальное и идеальное),

• апериодическое 2-го порядка,

• колебательное,

• запаздывающее.

Частотная передаточная функция	Амплитудная и фазовая характеристики	Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Частотные характеристики звена определяют его реакцию на гармонический входной сигнал в установившемся режиме (т.е. после завершения переходных процессов). Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента jw, полученную путем формальной замены s на jw в выражении передаточной функции

Получим связь частотной характеристики с известными понятиями. Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией W(s) и сигналами, . Пусть, – абсолютно интегрируемые функции и равны нулю при t<0. Тогда частотные спектры этих сигналов (преобразование Фурье) этих функций можно определить следующим образом – .

Получим отношение спектров -

Таким образом, частотную характеристику динамического звена можно определить как отношение спектра (преобразования Фурье) выходного сигнала к спектру входного сигнала.

Знание частотной характеристики звена позволяет определить выходной спектр по входному

.

Рассмотрим динамическое звено –

Получим спектр выходного сигнала – импульсной характеристики Тогда имеем , то есть преобразование Фурье от импульсной характеристики равно частотной характеристике динамического звена.

Рассмотрим передаточную функцию, состоящую из n-го количества элементов.

Последовательность выражений позволяет найти амплитуду и фазу колебаний на выходе системы при гармоническом воздействии на ее входе.

Модуль этого выражения показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается амплитуда колебаний на выходе системы по сравнению с амплитудой колебаний на входе.

Аргумент вектора F(jω) описывает фазовый угол колебаний по отношению колебаниям на входе => (*) определяет частотную характеристику, называемую амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

АФЧХ строится на комплексной плоскости j – мнимая единица.

- коэффициент, характеризующий изменение амплитуды при изменении частоты, при изменяющейся частоте, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

дает представление о фазовом сдвиге выходных колебаний и он называется фазово-частотной характеристикой (ФЧХ)

АФЧХ:

Вещественные или мнимые частотные характеристики связаны с АЧХ и ФЧХ следующим образом:

При анализе САР на устойчивость и качества процесса регулирования, а также при решении других задач, часто обращаются к ЛЧХ

Усиление L(ω) = 20lg|Ф(jω)| = 20lgA(ω) [дБ] – является единицей логарифмической относительно величины. Изменения относительно двух величин в 10 раз соответствует изменению усиления на 20 дБ.

Известно, что АЧХ представляет собой отношение 2-х амплитуд: входного и выходного сигналов.

Версия по Петрову:

К простейшим типовым звеньям относятся:

• усилительное,

• инерционное (апериодическое 1-го порядка),

• интегрирующие (реальное и идеальное),

• дифференцирующие (реальное и идеальное),

• апериодическое 2-го порядка,

• колебательное,

• запаздывающее.

Частотные характеристики усилительного звена можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

.

Частотные характеристики интегрирующего звена определяются соотношениями:

Колебательное звено

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид и определяется соотношением

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений  имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид и определяется соотношением

Ч астотные характеристики колебательного звена имеют вид