Уравнение прямой линии на плоскости

§ 11. Уравнение прямой линии на плоскости

1°. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.

Фиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую началом координат O и базисными векторами e1,e2 . Тогда точка плоскости M определяется координатами x, y .

Пусть прямая линия l лежит в плоскости и проходит через точку M0 (x0 , y0 ) параллельно вектору q .

q

l

M

M0

O

Рис.1. Прямая l , проходящая через точку M0 (x0 , y0 ) параллельно вектору q .

Определение 1. Всякий ненулевой вектор q , параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Если точка M x, y плоскости лежит на прямой, то вектор M 0 M коллинеарен q . Значим, t R такое, что

С другой стороны, всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1), принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число. Таким образом, условие М l выполнению уравнения (1). Уравнение (1)

называется векторным уравнением прямой.

– параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку M 0 x0 y0 в направлении вектора q , .

Исключая из уравнения (3) параметр t, получаем

0 , то прямая параллельна оси Oy и проходит через точку x x0 .

– общее уравнение прямой на плоскости.

Так как q 0 , то хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от

нуля уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка. Таком образом, показано, что любая прямая является алгебраической линией первого порядка.

Верно и обратное: любая алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой.

Действительно, уравнение (5) является линейным неоднородным уравнением, и в силу теории решения СЛНУ его общее решение имеет вид

x x0 Bt, y y0 At,

где (x0 , y0 ) – частное решение уравнения (5) (например, при A 0 , частного

фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения. Сравнивая общее решение уравнения (5) с (3), представляющим собой параметрическое уравнение прямой на плоскости, можно видеть, что множество всех решений уравнения (5) представляет собой прямую, проходящую через точку M0 (x0 , y0 ) и имеющей направляющий вектор q B, A .

Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка.

этой прямой.

Если B 0 , то из уравнения (5) получаем:

y BA x CB ,

т.е.

y kx b , где k BA .

Отметим, что в произвольной декартовой системе координат коэффициент k не играет роль углового коэффициента (т.е. k не равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox ). Например, на рис. 2 прямая l имеет

e1 x

Рис.2. Прямая l в системе координат (O,e1,e2 ) имеет уравнение y x .

Из канонического уравнения (4) легко выводится уравнение прямой, проходящей через 2 точки. А именно, если прямая l проходит через две точки

M0 (x0 , y0 ) и M1(x1, y1) , то вектор M 0 M1 x1 x0 , y1 y0 можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Тогда уравнение (4) принимает вид

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения прямой (5)..

1.Если А=0, то прямая параллельна оси Ox .

2.Если B=0, то прямая параллельна оси Oy .

3.Если C=0, то прямая проходит через начало координат.

4.Если A=C=0, то прямая совпадает с осью Ox .

5.Если B=C=0 , то прямая совпадает с осью Oy .

6.Если C 0 , то уравнение (5) после деления на C можно переписать в виде

ax by 1,

который называется уравнением прямой в отрезках. Здесь a и b равны отрезкам, отсекаемым прямой на координатных осях.

2°. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.

Пусть на плоскости задана аффинная система координат Oxy .

Утверждение 1. Для того чтобы прямые l1 и l2 , задаваемые соответственно уравнениями

возможно лишь при выполнении (11).

| Из первого равенства (11) что прямые l1 и l2 параллельны, а из второго неравенства система уравнений (7), (8) несовместна прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.

степени определяет некоторую прямую. По построению эта прямая проходит через точки M 0 , M1, а так как через две точки плоскости проходит

единственная прямая, то она совпадает с прямой l3 . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.

Замечание. Уравнение (13) называется уравнением пучка прямых,

проходящих через точку M 0 .

3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy , определяемая ортонормированным репером O,i , j . Пусть

прямые l1 и l2 задаются уравнениями (7), (8). Тогда угол между прямыми

определяется углом между направляющими векторами и может быть вычислен по формуле

Отметим, что здесь используется глагол «определяется», так как угол

Отметим, что только в прямоугольной декартовой системе координат вектор n A, B является перпендикулярной к прямой

Далее построим нормальное уравнение прямой на плоскости. Вначале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.

y

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т.

где - расстояние от т. М до начала координат, - угол между OM и Ox . Другими словами, , - полярные координаты т. М.

Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

cos cos sin sin p 0,

где

cos x , sin y .

Здесь x, y - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат. Получаем:

– нормальное уравнение прямой на плоскости, где p - длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси абсцисс.

Отметим, что cos и sin - координаты орта нормали.

Покажем, что общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду. Пусть прямая l : Ax By C 0 , тогда нормальное уравнение

наоборот. Если С=0, то знак произвольный.

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.

y

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты точки и полученную величину взять по модулю.

Замечание. Из рисунка видно, что если т. M 0 и начало координат лежат по

Последнее может быть использовано для того, чтобы узнать, лежат ли т. M 0 и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.

Пример. 22 x 22 y 1 0 .

§ 12. Уравнение плоскости в пространстве

1°. Различные виды уравнения плоскости.

Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от размерности плоскости на единицу, а размерность плоскости отличается на единицу от размерности пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.

Утверждение 1. Пусть на плоскости задана т. M 0 и два неколлинеарных вектора a и b . Тогда т. M u, v :

| Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что M0 M , a, b компланарны в силу неколлинеарности a и b , вектор M 0 M может быть представлен как линейная комбинация a и b , т.е. справедливо (1).

| если справедливо (1), то M 0 M компланарен с a и b M , ч.т.д.

Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т. M 0 и

Докажем и обратное: а именно, любое уравнение первой степени вида

(8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.

Действительно, пусть в (8) A 0. Тогда общее решение уравнения (8) можно записать в виде