59. Диаграмма Вышнеградского
Рассмотрим построение области устойчивости по параметрам систем регулирования, движение которых описывается дифференциальными уравнениями 3-го порядка.
у которого преобразуем это уравнение так, чтобы вместо4 коэффициентов, которые могут принимать различные значения, остались только 2. Для этого разделим все части уравнения на a0 и введем новую переменную
после преобразования получим
здесь
считая Х и Y переменными, найдем граничные значения этих переменных, при которых вещественная часть корней уравнения (1) ещё явл отрицательной. В плоскости переменных Х и Y граничной кривой, определяющей область устойчивости системы от области, где она устойчивостью не обладает, является равнобокая гипербола, уравнение которой Y=1/X.
Поле диаграммы Вышнеградского можно разбить на области: І, ІІ, ІІІ. В I обл. переходные процессы явл. апериодическими, II- монотонные, III – колебательные. В области IV, хоть она и лежит в первом квадранте, процессы являются расходящимися. Устойчивость системы определяется положением определяющей точки с коэффициентами X,Y найденными по коэффициентам характеристического уравнения с помощью выражений (2).
44. Численные способы исследования сар
В настоящее время изучение динамических явлений и процессов, возникающих в различных областях естествознания, приводит к исследованию нелинейных математических моделей. В силу нелинейности этих моделей и ограниченных возможностей аналитических и качественных методов такое исследование практически невозможно провести без применения численных методов и привлечения ЭВМ. Самыми распространенными программами для исследования САР являются Mathcad, Matlab: Simulink и Control System. Пакет Control System – для моделирования и проектирования систем управления с обратной связью. Основное внимание уделено стационарным линейным системам. Это может быть линейная непрерывная дискретная система с одним входом и выходом SISO (Single Input Single Output) и многомерная система со многими входами и выходами MIMO (Multi Input Multi Output). Пакет реализует объектно-ориентированное программирование. Пакет Simulink – для блочного моделирования различных систем и устройств. Имеет обширную библиотеку блочных компонентов и удобный редактор блок-схем. Является типичным средством визуального программирования.
Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.
Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.
Среди возможностей Mathcad можно выделить:
-Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами
-Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)
-Выполнение вычислений в символьном режиме
-Символьное решение систем уравнений
-Аппроксимация кривых
-Выполнение подпрограмм
-Поиск корней многочленов и функций
-Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей
-Поиск собственных чисел и векторов
-Вычисления с единицами измерения
-Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров
Процессы в нелинейных системах автоматического регулирования (САР) гораздо
разнообразнее и сложнее процессов в линейных системах. Более того, в нелинейных
САР появляются режимы, невозможные в линейных системах. Таким характерным режимом являются автоколебания – устойчивые колебания параметров определенной амплитуды и частоты.
Особые свойства нелинейных систем широко используются в технике. На этих
свойствах основано генерирование электромагнитных колебаний, выпрямление переменного тока, умножение и деление частот и другие процессы. Существует большое число нелинейных автоматических систем, в которых рационально используются нелинейные характеристики определенных элементов и на этой основе получаются хорошие практические результаты.
Однако в некоторых случаях нелинейные характеристики являются вредными
факторами. Их надо либо устранять, либо выбрать режим работы таким образом, чтобы нелинейности не оказывали существенного влияния на процессы в системе.
Особенности поведения нелинейных систем и многообразие процессов в них создают трудности точного их математического описания и теоретического изучения. Несмотря на это, задачи исследования нелинейных САР, несравненно более трудные, чем задачи исследования линейных систем, приобретают в современной технике актуальное значение.
Передаточная функция и ее связь с дифференциальным уравнением
В области комплектной частоты характеристикой линейной цепи является передаточная функция.
Передаточная функция – это есть отношение изображений по Лапласу реакции цепи при нулевых начальных условиях к воздействию:
В случае линейных систем передаточная функция может быть представлена как отношения полиномов:
Передаточная функция Н(s)
линейной системы представляет собой преобразование Лапласа ее импульсной характеристики
Если применить преобразование Лапласа к выходному и входному сигналам при
, то мы получим соотношение
, значит , где показывает связь передаточной функции и импульсной характеристики.
Комплексный коэффициент передачи позволяет вести расчет переходных процессов с помощью частотных характеристик. Комплексный коэффициент передачи имеет вид: