33. Передаточная функция и ее связь с дифференциальным уравнением

В области комплектной частоты характеристикой линейной цепи является передаточная функция.

Передаточная функция – это есть отношение изображений по Лапласу реакции цепи при нулевых начальных условиях к воздействию:

В случае линейных систем передаточная функция может быть представлена как отношения полиномов:

Передаточная функция Н(s)

линейной системы представляет собой преобразование Лапласа ее импульсной характеристики

Если применить преобразование Лапласа к выходному и входному сигналам при

, то мы получим соотношение

, значит , где показывает связь передаточной функции и импульсной характеристики.

Комплексный коэффициент передачи позволяет вести расчет переходных процессов с помощью частотных характеристик. Комплексный коэффициент передачи имеет вид:

57-3 Синтез ПД регуляторов

ПД- регулятор. Для улучшения динапических свойств САР (достижение асимптотической устойчивости, снижения колебательности процессов) в закон управления вводят произведения от отклонения ε . Тем самым формируется алгоритм ПД-регулятора:

U = K_pε +K_Dε=(K_p+K_DP)ε

Передаточная функция К(р) = K_p+K_DP

57-4 Анализ ПИД регуляторов

ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор) можно представить как соединение трех параллельно работающих регуляторов (см. рисунок 1.59). Закон ПИД-регулирования описывается уравнением:

и передаточной функцией

W_ПИД(s) = K₁ + + K₂s.

ПИД-регулятор в отличие от других имеет три настройки: K₀, K₁ и K₂.

ПИД-регулятор используется достаточно часто, поскольку он сочетает в себе достоинства всех трех типовых регуляторов. Реакция регулятора на единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке

31 Математическое описание линейных систем

Дифференциальные уравнения. Линеаризация

Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена, преобразования энергии и вещества математически можно описать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Любые процессы в АСР также можно описать дифференциальными уравнениями, которые определяют сущность происходящих в системе процессов независимо от ее конструкции и т.д. Решив ДУ, можно найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему.

Для упрощения задачи нахождения ДУ, описывающего работу АСР в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми ДУ. Так как ДУ описывают работу системы независимо от физической сущности протекающих в ней процессов, то при декомпозиции системы нет необходимости учитывать их физическую целостность. Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить ДУ, определяющее зависимость изменения выходной величины от входной.

Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив ДУ отдельных элементов, можно найти ДУ системы.

Однако такой метод применим только в частных случаях. Дело в том, что в большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому, даже если ДУ системы и будет получено, оно будет нелинейным. А аналитическое решение нелинейных ДУ возможно далеко не всегда.

Для решения этой проблемы учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ, то есть возможна линеаризация дифференциальных уравнений.

Рассмотрим сущность процесса линеаризации на примере сушильного шкафа. Зависимость температуры объекта от подаваемого напряжения в большинстве случаев нелинейна и имеет вид, представленный на рисунке 1.17.

Графически линеаризацию некоторого уравнения от двух переменных F(х,у) = 0 в окрестности некоторой точки (х₀, у₀) можно представить как замену рассматриваемого участка кривой на касательную (см. рисунок 1.17), уравнение которой определяется по формуле

,

где и - частные производные от F по х и у. Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращения х = х - х₀ и у = у - у₀.

Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным ( , , и т.д.). Итоговое уравнение в приращениях будет содержать приращения производных: х’ = х’ – х’₀, х” = х” – х”₀, … , y’ = y’ – y’₀, y” = y” – y”₀, и т.д.

Пример. Линеаризация нелинейного ДУ.

3xy - 4x² + 1,5 y = 5 + y

Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х₀ = 1, = 0, = 0. Для определения недостающего начального условия у₀ подставим данные значения в ДУ:

3у₀ - 4 + 0 = 0 + у₀, откуда у₀ = 2.

Введем в рассмотрение функцию

F = 3xy - 4x² + 1,5x’y - 5y’ - y

и определим все ее производные при заданных начальных условиях:

= (3у - 8х = 3*2 - 8*1 = -2,

= (3х + 1,5x’ - 1 = 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2,

= (1,5у = 1,5*2 = 3,

= -5.

Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:

-5^.y’ + 2^.y + 3^.х’ - 2^.х = 0.

Линеаризация ДУ, заданного в явном виде относительно у, т.е. y = F(x) производится по формуле

,

то есть в данном случае нет необходимости искать производные по у.