- •Векторні функції скалярного аргументу і їх властивості
- •Границя векторних функцій
- •Tеорема:
- •Доведення:
- •Неперервність векторних функцій
- •Векторна похідна
- •Елементи тригранника Френе
- •Дотична до кривої
- •Теорема:
- •Доведення:
- •Нормальна площина кривої
- •Бінормаль кривої
- •Спрямна площина
- •Головна нормаль
- •Довжина дуги кривої Натуральна параметризація
- •Кривизна кривої
- •Теорема:
- •Доведення:
- •Натуральні рівняння кривої
- •Формули Френе
- •Доведення:
- •Плоскі криві
- •Лінія на поверхні
- •Дотична площина і нормаль до поверхні
- •Перша квадратична форма поверхні
- •Застосування першої квадратичної форми
- •Друга квадратична форма поверхні
- •Кривизна кривої на поверхні Нормальна кривизна поверхні Теорема Меньє
- •Теорема Меньє
- •Нормальна кривизна поверхні в даному напрямку є величина стала.
- •Геодезична кривизна і її обчислення
- •Головні кривизни на поверхні
- •Індикатриса кривизни Дюпена
- •Класифікація точок на поверхні:
- •Класифікація точок на основі поняття ідекатриси Дюпена
- •Класифікація точок поверхні на основі поняття Гаусової (повної) кривизни поверхні
- •Класифікація точок з використанням поняття стичного параболоїда поверхні
- •Поверхня обертання і її рівняння
- •Головні напрямки на поверхні
- •Асимптотичні напрямки на поверхні Асимптотичні лінії
- •Геодезичні напрямки на поверхні
- •Сферичне зображення області на поверхні Теорема Гауса
- •Теорема :
- •Ізометричні поверхні Згинання поверхні
- •Теорема Гауса-Бонне(без доведення)
- •Теорема Гауса-Бонне:
- •Топологічний простір
- •I. Об'єднання будь-якої кількості (скінченної або нескінченної) відкритих множин є відкрита множина.
- •II. Перетин будь-яких двох відкритих множин є відкрита множина.
- •Топологічні перетворення і їх властивості
- •Замкнені множини Граничні точки
- •3°. Перетин будь-якої системи (скінченої чи нескінченної) замкнених множин є замкнена множина.(якщо - сукупність замкнених множин, то множина замкнена).
- •4°. Множина м простору замкнена тоді і тільки тоді, коли вона містить всі свої граничні точки.
- •Кліткове розбиття поверхні Орієнтовні поверхні
- •Теорема Ейлера для многогранників
- •Приклади топологічно правильних многогранників
- •Топологічні властивості проективної площини
Лінія на поверхні
Нехай Д – елементарна область, і відповідно маємо поверхню
При відображенні області Д у простір, відображаються при цьому і всі точки лінії образи яких утворять на поверхні лінію .
Лінією на поверхні називається топологічний образ лінії з області Д.
Припустимо, що в області Д, задається рівнянням: : (2) – внутрішнє рівняння
(1)
підставимо U і V у рівняння (1): - зовнішнє рівняння
- рівняння лінії на поверхні
U та V назвемо криволінійними або гаусовими координатами на поверхні.
Розглянемо лінію: (3)
лінія, яка задана рівнянням (3) називається координатною U-лінією.
Розглянемо лінію: (4)
Ліня, яка задана рівнянням (4) називається координатною V-лінією.
U та V- лінії на поверхні утворюють координатну сітку, причому через кожну точку поверхні проходять дві лінії, U і V.
Розглянемо на поверхні деяку лінію, яка задається рівнянням , і розглянемо на ній точку X:
вектор є вектор дотичної до кривої в даній точці, вектори відповідно напрямними векторами дотичних до U та V-ліній.
Дотична площина і нормаль до поверхні
Нехай дано поверхню с (1)
зафіксуємо на ній т. Р, розглянемо площину,яка проходить через т. Р і містить вектори :
Дотичною площиною до поверхні (1) в т. Р називається площина, яка проходить через т. Р поверхні, паралельно до векторів .
Напишемо рівняння дотичної площини для різних способів її параметризації:
візьмемо т. М на площині:
(2)
вектори є компланарними, а отже:
(3) – векторне рівняння дотичної площини.
Нехай тепер (4)
і нехай
із (4) і (2) отримаємо параметричні рівняння: , тоді
- канонічне рівняння дотичної площини
розкривши визначник отримаємо загальне рівняння.
Нехай (5), припустимо, що , тоді , тому
- нормальний вектор
Нехай поверхня задана в неявному вигляді (6)
напишемо рівняння дотичної до поверхні (6) в точці (x0,y0,z0), припустимо, що x, y, z є функціями від (U,V)
, тоді матимемо
, про диференціюємо цю рівність по U, а потім по V:
вектор , отже колінеарний до , тому перпендикулярний до дотичної площини, тоді його можна прийняти за нормальний вектор дотичної площини, і тоді рівняння матиме вигляд:
- рівняння дотичної площини.
Нормаллю до поверхні в даній точці, називається пряма, яка проходить через дану точку поверхні, перпендикулярно до дотичної площини.
(7)
векторне рівняння нормалі
Нехай
і нехай , тоді
параметричне рівняння нормалі
для того, щоб визначити канонічне рівняння визначаємо всюди :
- канонічне рівняння
Нехай , тоді
нормальний вектор нормальної площини :
- канонічне рівняння
Якщо поверхня задана в неявному вигляді, то нормальний вектор дотичної площини:
- канонічне рівняння нормалі