Топологічні властивості проективної площини
В попередньо розглянутому матеріалі ми показали, що проективна площина може бути перетворена в метричний простір, що вона є замкненою поверхнею, гомеоморфна сфері з ототожненими діаметрально протилежними точками, проективна площина є неорієнтовною поверхнею.
Визначимо
порядок зв’язності проективної площини.
Розглянемо гіперболу на розширеній
невласними елементами евклідовій
площині
і виділимо ту обмежену гіперболою
замкнену частину F
площини, яка містить її асимптоти (на
малюнку ця частина заштрихована). Точки
А і А, які відповідають невласній точці
асимптоти на площині
,
ототожнюються; так само ми поступаем з
точками В і В. Але таке ж ототожнення
при склеюванні листа Мебіуса з прямокутної
смужки. Тому показана частина F
площини гомеоморфна листу Мебіуса. Інша
частина площини, що складається з
внутрішніх точок гіперболи, гомеоморфна
відкритому кругу
Q,
в який вона може бути переведена
проективним перетворенням розширеної
евклідової площини. Сфера з однією
діркою, виготовлена з еластичного
матеріалу, може бути перетворена розтягом
без розривів і склеювань в відкритий
круг Q
і, отже, йому гомеоморфна. Ми приходимо
до висновку, що згідно з теоремою (2)
проективна площина гомеоморфна сфері
з одним листом Мебіуса, в наслідок чого:
порядок зв’язності проективної площини
q=1.
На
попередній лекції ми побудували кліткове
розбиття проективної площини з чотирьох
трикутників. Для нього
,
,
;
ейлерова характеристика проективної
площини
,
що знаходиться згідно з формулою (3),
оскільки q=1.