Нормальна площина кривої

Нормальною площиною кривої,в даній точці, називається площина, яка проходить через дану точку кривої, перпендикулярно до дотичної.

(умови існування ті самі що і для дотичної)

Знайдемо рівняння нормальної площини: (1)

дано криву лінію і т.Р, візьмемо на площині довільну точку М

Р₀М належить нормальній площині, а площина перпендикулярна до дотичної,тому , тобто

(3) – векторно-параметричне рівняння площини

Якщо площина задана параметрично (4)

нехай біжуча т.М (x,y,z), тому і

з рівності (3) маємо:

• загальне рівняння нормальної площини

Стична площина кривої і її рівняння

Р озглянемо у просторі криву лінію задану рівнянням (1)

нехай Q- нескінченно близька до т.Р

відстань

відстань від т.Q до площини ,

|e|=1- одиничний вектор

Стичною площиною кривої (1) в т.Р називається площина, яка проходить через т.Р, кривої, і для якої виконується така умова:

(2)

Теорема:

Всяка регулярна,принаймні двічі неперервно-диференційовна, крива у кожній своїй точці має стичну площину, яка є єдиною.

Або всяка площина, що містить дотичну є стичною площиною кривої.

якщо , векторна параметризація кривої, то стична площина в т.Р паралельна до векторів

Доведення:

Нехай площина Р є стичною, тому для неї виконується рівність (2). Скористаємось нею для доведення, для цього визначимо h і d

Для знаходження h розглянемо скалярний добуток

Звідси , отже і належать одній площині.

Покажемо, що всяка площина, яка проходить через т.Р, кривої (1), паралельно до векторів і є стичною, тобто виконується умова (2):

, тому що

Знайдемо рівняння стичної площини для різних способів її параметризації:

1 ) Нехай лінія задана векторним рівнянням (1)

нехай т.М - довільна точка стичної площини

З

вектори лежать в одній площині, отже є компланарними, лінійно залежними.

виразимо вектор через інші вектори:

(3) - векторно-параметричне рівняння

оскільки вектори компланарні, то:

( 4) – векторно-параметричне рівняння

2) Нехай задане параметричне рівняння:

в т.Р₀ ,

тоді із рівності (3):

(5) - параметричне рівняння стичної площини

із (4) маєм (6)

– канонічне рівняння стичної площини

3) =>

- параметричне рівняння стичної площини

- канонічне рівняння стичної площини

4) Нехай лінія задана рівнянням:

напишемо рівняння стичної площини в т.(x₀,y₀,z₀)

нам потрібно знайти вектори

припустимо,що , отримаєм

(*)

припустимо, що одне із відоме, нехай =а. Отримаємо тоді систему двох рівнянь, з якої і визначимо , рівність (*) продиференціюємо по t:

в останній рівності замість підставимо їх значення і припустимо, що , отримаємо систему з двома невідомими, розв’язавши її отримаємо , далі напишемо рівняння стичної площини.