- •Векторні функції скалярного аргументу і їх властивості
- •Границя векторних функцій
- •Tеорема:
- •Доведення:
- •Неперервність векторних функцій
- •Векторна похідна
- •Елементи тригранника Френе
- •Дотична до кривої
- •Теорема:
- •Доведення:
- •Нормальна площина кривої
- •Бінормаль кривої
- •Спрямна площина
- •Головна нормаль
- •Довжина дуги кривої Натуральна параметризація
- •Кривизна кривої
- •Теорема:
- •Доведення:
- •Натуральні рівняння кривої
- •Формули Френе
- •Доведення:
- •Плоскі криві
- •Лінія на поверхні
- •Дотична площина і нормаль до поверхні
- •Перша квадратична форма поверхні
- •Застосування першої квадратичної форми
- •Друга квадратична форма поверхні
- •Кривизна кривої на поверхні Нормальна кривизна поверхні Теорема Меньє
- •Теорема Меньє
- •Нормальна кривизна поверхні в даному напрямку є величина стала.
- •Геодезична кривизна і її обчислення
- •Головні кривизни на поверхні
- •Індикатриса кривизни Дюпена
- •Класифікація точок на поверхні:
- •Класифікація точок на основі поняття ідекатриси Дюпена
- •Класифікація точок поверхні на основі поняття Гаусової (повної) кривизни поверхні
- •Класифікація точок з використанням поняття стичного параболоїда поверхні
- •Поверхня обертання і її рівняння
- •Головні напрямки на поверхні
- •Асимптотичні напрямки на поверхні Асимптотичні лінії
- •Геодезичні напрямки на поверхні
- •Сферичне зображення області на поверхні Теорема Гауса
- •Теорема :
- •Ізометричні поверхні Згинання поверхні
- •Теорема Гауса-Бонне(без доведення)
- •Теорема Гауса-Бонне:
- •Топологічний простір
- •I. Об'єднання будь-якої кількості (скінченної або нескінченної) відкритих множин є відкрита множина.
- •II. Перетин будь-яких двох відкритих множин є відкрита множина.
- •Топологічні перетворення і їх властивості
- •Замкнені множини Граничні точки
- •3°. Перетин будь-якої системи (скінченої чи нескінченної) замкнених множин є замкнена множина.(якщо - сукупність замкнених множин, то множина замкнена).
- •4°. Множина м простору замкнена тоді і тільки тоді, коли вона містить всі свої граничні точки.
- •Кліткове розбиття поверхні Орієнтовні поверхні
- •Теорема Ейлера для многогранників
- •Приклади топологічно правильних многогранників
- •Топологічні властивості проективної площини
Кривизна кривої
Нехай задано криву лінію в натуральній параметризації
(1)
Розглянемо лінію і зафіксуємо на ній т. Р
побудуємо в кожній із точок Р і Q дотичні вектори
РQ= - довжина
назвемо кутом повороту дотичної до кривої, при переході т.Р в т.Q
Кривизною кривої (1) в т.Р називається відношення кута повороту дотичної до довжини дуги кривої, між двома нескінченно близькими точками, у яких побудовані дотичні, при умові,що
Механічно це означає швидкість зміни кута повороту.
Теорема:
Всяка регулярна, принаймні двічі неперервно-диференційовна крива, у кожній своїй точці має кривизну, яка визначається так:
Доведення:
Зауважимо, що похідну вектора по звичайному параметру t будемо позначати:
а по натуральному параметру S:
покажемо, що є кривизна:
З АУВАЖЕННЯ: трикутник QMN – рівнобедрений, проведемо в ньому висоту і бісектрису.
отже
Теорема про необхідні і достатні умови
рівності кривизни кривої нулю:
Для того, щоб кривизна кривої дорівнювала нулю, необхідно і достатньо щоб крива лінія була прямою або відрізком
Доведення:
(необхідність)
Дано, що кривизна дорівнює нулю, доведемо, що в цьому випадку крива є прямою
а якщо похідна стала, то функція буде лінійною: - лінійний вектор, який визначає пряму лінію.
(достатність)
Дано, що лінія є прямою, доведемо, що кривизна дорівнює нулю.
Так, як лінія є прямою, то вона визначається лінійним вектором , тоді його похідна
, а друга похідна дорівнює нулю, це означає, що
Обчислення кривизни кривої у випадку
довільної параметризації:
- задана лінія
припустимо, що , тобто
маємо
розглянемо тепер вираз:
так, як - це вектор постійної довжини, то кут між і =90о, див. теорему
тобто маємо, що кривизна:
Отже - кривизна кривої для довільної параметризації
Скрут кривої і його визначення
Нехай крива лінія задана в натуральній параметризації: , розглянемо на кривій деяку т.Р і нескінченно близьку до неї т.Q, побудуємо в т.Р і Q одиничні вектори бінормалі
- довжина дуги РQ
- кут повороту бінормалі
Абсолютним скрутом кривої (1) в т.Р називається границя відношення кута повороту бінормалі кривої до довжини дуги кривої кривої, між двома нескінченно близькими точками, у яких побудовано бінормаль, при умові, що довжина дуги прямує до нуля.
Теорема:
Всяка регулярна, принаймні тричі неперервно-диференційовна крива, у кожній своїй неособливій (в якій кривизна не дорівнює нулю) точці має абсолютний скрут, який визначається так:
Доведення:
Покажемо спочатку, що справді
вектор ортогональний до , як вектор постійної довжини.
Покажемо, що ортогональний , справді розглянемо скалярний добуток * =0, візьмемо похідну правої і лівої частини: * + * =0, звідси, так як = а лежить в стичній площині, то * =0 => * =0, отже ортогональний до .
Звідси випливає, що - співнаправленні.
Розглянемо
отже ми показали, що
Знайдемо , і підставимо в ( ), із теореми про існування кривизни маємо, що
отже:
Теорема про необхідні і достатні умови рівності скруту нулю
Для того,щоб скрут кривої дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб крива була плоскою, а отже лежала у стичній площині
Доведення:
(необхідність)
Дано, що скрут дорівнює нулю, доведемо, що крива є плоскою.
Якщо скрут дорівнює нулю, то звідси маємо, що , це означає, що в кожній точці кривої сталий(один і той же) , таким чином площина в кожній точці стала, отже крива лежить в стичній площині.
(достатність)
Дано, що крива лежить в стичній площині, доведемо, що скрут дорівнює нулю
, раз так, то в кожній точці кривої одиничний вектор кривої сталий, звідси випливає, що .
Обчислення скруту кривої
у випадку довільної параметризації
Нехай крива задана векторно ;
припустимо, що , тобто
отримані вирази підставимо у формулу із теореми про скрут:
ЗАУВАЖЕННЯ: Для скруту кривої можна ввести відповідний знак, знявши модуль в правій і лівій частині: ;
Якщо рухаючись по кривій лінії в напрямку зростання параметра стична площина обертається навколо дотичної проти годинникової стрілки, то скрут вважається додатнім, якщо ж стична площина обертається за годинниковою стрілкою, то скрут вважається від’ємним.