Поверхня обертання і її рівняння

Поверхнею обертання називається поверхня, яка утворюється в результаті обертання кривої лінії навколо прямої лінії (осі).

Криву лінію назвемо твірною обертання.

Якщо поверхню обертання перетнути площиною перпендикулярною до осі обертання, то в перерізі отримаєм лінію, яку назвемо паралеллю.

Якщо ж поверхню обертання перетнути площиною, яка містить вісь обертання, то в перерізі отримаєм лінію, яку назвемо меридіаном.

Знайдемо рівняння поверхні обертання, якщо в площині xOz, ортонормованої системи координат, крива лінія задана рівнянням:

значить

а це означає, що

Знайдемо тепер другий коефіцієнт Гауса першої квадратичної форми:

отже F=0

Отже cos між паралелями і мередіаними дорівнює нулю, тобто вони є ортогональними.

Головні напрямки на поверхні

Напрямок на поверхні у якому нормальна кривизна набирає екстремальне значення називається головним.

Для того щоб знайти головні напрямки скористаємось формулами для обчислення нормальної кривизни

продиференціюємо рівність по du, потім по dv і скоротимо на 2:

Із кожної рівності визначимо :

запишемо це рівняння у вигляді:

Лінія на поверхні називається лінією кривизни, якщо в кожній точці цієї лінії напрямок на поверхні є головним.

Для того щоб визначити лінію кривизни на поверхні потрібно розв’язати таке диференціальне рівняння:

ЗАУВАЖЕННЯ: головні напрямки на поверхні невизначені у двох випадках:

1. в омбілічній точці, тому що в цій точці всі напрямки є головними;

2. в точці згущення, тому що головні кривизни дорівнюють нулю;

Якщо Гаусова кривизна поверхні в усіх точках є додатною, то таку поверхню називають поверхнею із сталою додатною Гаусовою кривизною.

Прикладом такої поверхні є сфера.

Поверхня, в кожній точці якої Гаусова кривизна є від’ємною і однаковою називається поверхнею із сталою від’ємною Гаусовою кривизною.

Прикладом такої поверхні є псевдосфера.

Псевдосфера це поверхня, яка утворюється в результаті обертання трактриси кривої лінії, навколо її асимптот.

Трактриса це лінія для кожної точки якої відрізок дотичної,в даній точці, від точки дотику до даної прямої є величиною сталою.

Поверхня на якій в кожній точці Гаусова кривизна дорівнює нулю називається нульовою Гаусовою кривизною.Прикладом є площина.

Асимптотичні напрямки на поверхні Асимптотичні лінії

Асимптотичним напрямком на поверхні, в даній точці, називається напрямок у якому нормальна кривизна набирає значення,що дорівнює нулю.

Для визначення асимптотичних напрямків скористаємось формулою для обчислення нормальної кривизни:

= =0, звідси отримаєм рівняння:

з якого і визначають асимптотичні напрямки:

розглянемо такі випадки:

1)

в цьому випадку рівняння має два розв’язки, тобто маємо в даній точці два асимптотичні напрямки.

Отже в гіперболічній точці поверхні існує два асимптотичних напрямки ( )

2)

в цьому випадку рівняння має два розв’язки, що збігаються, в точці існує один асимптотичний напрямок, ця точка є параболічною.

Отже в параболічній точці існує один асимптотичний напрямок ( )

3)

в цьому випадку рівняння не має розв’язків, в даній точці не існує асимптотичних напрямків.

Отже в еліптичній точці асимптотичних напрямків не існує ( )

Для того., щоб U- лінії були асимптотичними потрібно щоб L=0, для того, щоб V- лінії були асимптотичними потрібно щоб N=0.

Щоб координатна сітка була асимптотичною потрібно щоб N=L=0

Лінія на поверхні називається асимптотичною, якщо в кожній її точці напрямок є асимптотичним.

Для того, щоб визначити асимптотичні лінії на поверхні потрібно розвязати таке рівняння:

в загальному випадку, це є рівняння другого порядку, це означає, що через гіперболічну точку проходять дві асимптотичні лінії.

Для того, щоб лінія на поверхні була асимптотичною потрібно щоб стична площина збігалась із дотичною площиною до поверхні в цій точці. Тобто, щоб бінормаль кривої, в даній точці, збігалась із нормаллю до поверхні в цій точці.