Диференціальна геометрія
і топологія
Предмет диференціальної геометрії
Із історії виникнення диференціальної геометрії
Диференціальна геометрія - це частина геометрії, яка вивчає властивості кривих ліній і поверхонь (їх сімейств) засобами математичного аналізу, тобто в нескінченно малому.
Говорячи про криву лінію або поверхню в диференціальній геометрії будемо розглядати маленьку частину кривої(або поверхню), які містяться в околі точки (поверхні).
Виникла диференціальна геометрія зразу ж після створення диференціального числення і розвивалась паралельно із ним. Зауважимо,що на перших порах свого розвитку диференціальна геометрія служила виключно областю застосування диференціального числення.
Своїм виникненням диференціальна геометрія завдячує відомим математикам Ейлеру, Гаусу, Коші, Лагранжу.
Великий вклад в розвиток диференціальної геометрії внесли: Френе, Монж, Маніє, Бонне.
Певний вклад в розвиток диференціальної геометрії внесли і російські математики, норвезького походження, Мідінг і Петерсон. Розвитком диференціальної геометрії на Україні займалися Пованцов, Погорєлов.
Сучасний курс диференціальної геометрії побудований на теорії векторних функцій скалярного аргументу(векторно-значних функцій).
Векторні функції скалярного аргументу і їх властивості
Векторною функцією скалярного аргументу називається функція, яка дійсному числу ставить у відповідність вектор трьохвимірного евклідового простору.
Границя векторних функцій
→
Сталий вектор а називається границею векторної функції при t→to,
→ → → →
якщо модуль різниці | r(t) – a | є нескінченно малою, тобто | r(t) – a |<ε
→ →
lim r(t) = a
t→to
Tеорема:
Якщо існують границі → → → → → →
lim r1(t) = a , lim r2(t) = b, lim r3(t) = c,
t→to t→to t→to
то мають місце рівності:
→ → → →
1) lim r1(t) + r2(t) = a + b
t→to
→ → → →
2) lim r1(t) * r2(t) = a * b
t→to
→ → → →
3) lim [r1(t) * r2(t)] = [a * b]
t→to
→ → → → → →
4) lim ( r1(t) * r2(t) * r3(t) ) = ( a, b, c )
t→to
Доведення:
Доведемо властивість 1.
→ → → → → → → → → →
|r1(t) + r2(t) – (a + b)| = |(r1(t) – a) + ( r2(t) – b)|≤ | r1(t) – a | +
→ →
+| r2(t) – b |<ε/2 + ε/2=ε.
Доведемо властивість 2.
→ → → → → → → → → → → →
| r1(t) * r2(t) – a * b | = | r1(t) * r2(t) + r2(t) * a - r2(t) * a – a * b| =
→ → → → → → → → → → →
=| r2(t) *(r1(t) – a) + a*( r2(t) – b) | = | r2(t) *(r1(t) – a) | + | a*( r2(t) –
→ → → → → → →
b) | = |r2(t)| *|r1(t) – a| + |a|* |r2(t) – b|→0.
Неперервність векторних функцій
→
Векторна функція r(t) називається неперервною в точці to, якщо границя функції в цій точці дорівнює значенню функції в цій точці.
→ →
lim r(t) = r(to)
t→to
→
Функція r(t) називається неперервною на даній області, якщо вона є неперервною в кожній точці цієї області.
→
Векторна функція r(t) називається неперервною, якщо вона є неперервною на всій її області визначення.
→ → →
Якщо вектор функції U(t), V(t), W(t) є неперервними, то неперервною буде і їх сума, різниця, скалярний, векторний і мішаний добутки.