Теорема Ейлера для многогранників

Означення. Многогранником називається тіло, обмежене з усіх сторін площинами.

Частини площини, що обмежують многогранник називаються його гранями. Кожна грань, будучи обмежена лініями перетину з сусідніми гранями являє собою многокутник. Сторони і вершини многогранника називаються відповідно ребрами і вершинами многогранника, причому ні одне з ребер не є спільним ребром більше ніж двох граней і ні одна з вершин не є спільною вершиною кількох многогранних кутів, утворених гранями многогранника.

Означення. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожної з його граней. Гранями опуклого многогранника є опуклі многокутники.

Якщо розглядати грані многогранника як плоскі області, то многогранник є деякою поверхнею в просторі. Дана поверхня є замкненою і зв’язною (тобто не розпадається на дві замкнені поверхні). Найпростішими прикладами многогранників є призми і піраміди.

Означення. Родом многогранника називається рід його поверхні (Межі цього многогранника).

Означення. Многогранник називається простим, якщо його межа — проста многогранна поверхня.

Означення. Якщо многогранник має ту властивість, що віднявши від нього одну грань, ми дістанемо однозв’язну поверхню, то він називається многогранником нульового роду.

Всякий опуклий многогранник є многогранником нульового роду. Ця властивість виконується також для багатьох неопуклих многогранників (наприклад для призм, в основі яких лежать неопуклі многокутники), але не для всіх. Поверхня многогранника нульового роду гомеоморфна сфері.

Означення. Нехай дано деяке кліткове розбиття поверхні S, що має α₀ вершин, α₁ ребер і α₂ кліток. Число χ(S)= α₀-α₁ +α₂ називається ейлеревою характеристикою поверхні S (воно однакове для всіх її кліткових розбиттів).

Теорема Ейлера для многогранників. В усякого многогранника нульового роду сума числа вершин і числа граней на дві одиниці більша від числа його ребер, тобто

α₀+α₂ = α₁ +2 або α₀-α₁ +α₂ =2,

де α₀ – число вершин, α₁ – число ребер, α₂ – число граней многогранника.

Означення. Многогранник нульового роду називається топологічно правильним, якщо всі його грані мають одне і те ж саме число вершин, а многогранні кути — одне і те ж саме число граней.

Приклади топологічно правильних многогранників

Нехай Р – топологічно правильний многогранник. Кожна його грань має n вершин, а кожен многогранний ку т при його вершинах містить g граней. Оскільки кожне ребро є спільною стороною двох його граней, а кожна грань містить n ребер, то

nα₂ =2α₁. (1)

Кожна вершина є спільним кінцем g ребер,

gα₀ =2α₁. (2)

Із (1), (2) матимемо:

, .

Оскільки Р – частковий випадок многогранника нульового роду, то для нього справедлива теорема Ейлера:

+ - =2,

( + -1)=2.

Очевидно,що + >1. (3)

Отже, ми бачимо, що g≥ 3, n≥ 3.

>1- ≥1- = .

Звідси g<6, n<6.

Розглянемо такі випадки:

1) g=n=3, α₀ =4, α₁=6, α₂=4 — тетраедр.

2) g=3, n=4, α₀ =8, α₁=12, α₂=6 — гексаедр (шестигранник, куб).

3) g=3,n=5, α₀ =20, α₁=30, α₂=12 — додекаедр (дванадцятигранник).

4) g=4,n=3, α₀ =6, α₁=12, α₂=8 — октаедр (восьмигранник).

5) g=5,n=3, α₀ =12, α₁=30, α₂=20 — ікосаедр (двадцятигранник).

Усі інші комбінації (g=4,n=5; g=5,n=4; g=n=4; g=n=5) суперечать умові (3). Таким чином, існує всього 5 типів топологічно правильних многогранників.

Топологічна класифікація замкнених поверхонь

Теорема 2. Всяка орієнтовна замкнена поверхня гомеоморфна сфері з р ручками при деякому р. Всяка неорієнтовна замкнена поверхня гомеоморфна сфері з q листами Мебіуса при деякому q.

Доведення теореми дуже громіздке і тому ми не будемо його виводити.

Означення. Число р називається родом замкненої орієнтовної поверхні.

Сфера є поверхнею роду 0, оскільки тор гомеоморфний сфері з однією ручкою, то тор є поверхнею роду 1.

Означення. Для замкненої неорієнтовної поверхні число q називається порядком зв’язності. Для орієнтовної замкненої поверхні порядок зв’язності: q=2p. Порядок зв’язності є топологічним інваріантом поверхні.

З порядком зв’язності замкненої поверхні S в простому співвідношенні полягає її так звана ейлерова характеристика. Нехай дано будь-яке кліткове розбиття поверхні S, яка має вершин, ребер, кліток; число однакове для всіх її кліток і називається ейлеровою характеристикою поверхні S. Має місце наступна теорема.

Теорема 3. Ейлерова характеристика замкненої поверхні рівна 2-q, де q є порядком зв’язності поверхні:

(3)

Для сфери р=0, q=2p=0 і формула (3) перетворюється в формулу (1). Таким чином, теорема Ейлера (1) є частковим випадком теореми (3).

Для тора р=1, q=2 і формула (3) має вигляд: .