- •Векторні функції скалярного аргументу і їх властивості
- •Границя векторних функцій
- •Tеорема:
- •Доведення:
- •Неперервність векторних функцій
- •Векторна похідна
- •Елементи тригранника Френе
- •Дотична до кривої
- •Теорема:
- •Доведення:
- •Нормальна площина кривої
- •Бінормаль кривої
- •Спрямна площина
- •Головна нормаль
- •Довжина дуги кривої Натуральна параметризація
- •Кривизна кривої
- •Теорема:
- •Доведення:
- •Натуральні рівняння кривої
- •Формули Френе
- •Доведення:
- •Плоскі криві
- •Лінія на поверхні
- •Дотична площина і нормаль до поверхні
- •Перша квадратична форма поверхні
- •Застосування першої квадратичної форми
- •Друга квадратична форма поверхні
- •Кривизна кривої на поверхні Нормальна кривизна поверхні Теорема Меньє
- •Теорема Меньє
- •Нормальна кривизна поверхні в даному напрямку є величина стала.
- •Геодезична кривизна і її обчислення
- •Головні кривизни на поверхні
- •Індикатриса кривизни Дюпена
- •Класифікація точок на поверхні:
- •Класифікація точок на основі поняття ідекатриси Дюпена
- •Класифікація точок поверхні на основі поняття Гаусової (повної) кривизни поверхні
- •Класифікація точок з використанням поняття стичного параболоїда поверхні
- •Поверхня обертання і її рівняння
- •Головні напрямки на поверхні
- •Асимптотичні напрямки на поверхні Асимптотичні лінії
- •Геодезичні напрямки на поверхні
- •Сферичне зображення області на поверхні Теорема Гауса
- •Теорема :
- •Ізометричні поверхні Згинання поверхні
- •Теорема Гауса-Бонне(без доведення)
- •Теорема Гауса-Бонне:
- •Топологічний простір
- •I. Об'єднання будь-якої кількості (скінченної або нескінченної) відкритих множин є відкрита множина.
- •II. Перетин будь-яких двох відкритих множин є відкрита множина.
- •Топологічні перетворення і їх властивості
- •Замкнені множини Граничні точки
- •3°. Перетин будь-якої системи (скінченої чи нескінченної) замкнених множин є замкнена множина.(якщо - сукупність замкнених множин, то множина замкнена).
- •4°. Множина м простору замкнена тоді і тільки тоді, коли вона містить всі свої граничні точки.
- •Кліткове розбиття поверхні Орієнтовні поверхні
- •Теорема Ейлера для многогранників
- •Приклади топологічно правильних многогранників
- •Топологічні властивості проективної площини
Топологічні перетворення і їх властивості
Відображення
Пригадаємо найпростіше визначення пов’язане з відображенням.
Нехай X і Y – довільні множини, а (1) відображення множини X на множину Y.
Позначимо через множину образів всіх точок множини X. Очевидно .
Якщо ,то називається відображення множини X на множину Y.
Відображення множини X на множину Y називається взаємно однозначним, якщо різні точки переходять при цьому відображенні в різні точки. Очевидно, що взаємно однозначне відображення (1) допускає оборотність, тобто існує єдине відображення таке, що і , де і - тотожне відображення множин X і Y.
Відображення називається оборотним для і записується .
Введемо ще ряд понять необхідних для подальшого вивчення.
Нехай (1) – дане відображення, а N – підмножина множини Y.
Повним прообразом множини N будемо називати множину всіх точок в X , образи яких при відображенні (1) містяться в N.
Зауважимо, що повний прообраз множини може бути пустою множиною.
Якщо М – точка, то її новий прообраз може бути пустою множиною, однією точкою і множиною, що складається більше як з однієї точки. Зведенням відображення (1) називається приведеним відображенням , яке визначається так: будь маємо .
Очевидно, якщо = Y, то відображення і співпадають.
Нехай дано відображення (1) і множина . Відображення називається звуженим відображенням (1), якщо для всіх маємо .
Неперервне відображення.
В топології важливу роль відіграє неперервне відображення, яке визначається так: Нехай X і Y – топологічні простори. Відображення (1) називається неперервним в , якщо для кожного околу площини існує такий окіл точки , що .
Відображення (1) неперервним на множині , якщо воно неперервне в точці множини М.
Відображення (1) називається, якщо воно неперервне на множині X.
Має місце теорема.
Для того, щоб відображення (1) було неперервним, необхідно і достатньо, щоб повний прообраз будь якої відкритої множини був множиною відкритою.
Доведення: Нехай (1) – неперервне відображення. -- довільна відкрита множина в Y, а N – її повний прообраз. Доведемо, що N – відкрита множина.
Необхідність.
Для цього достатньо показати, що кожна точка цієї множини є внутрішньою. Оскільки , то -- окіл точки . В силу неперервності відображення (1) існує окіл точки x, такий, що . Звідси слідує, що , а значить x – внутрішня точка.
Достатність.
Нехай x – довільна точка множини X, -- образ цієї точки, а -- будь який окіл точки . Якщо -- повний образ множини , то відкрита множина.
Очевидно, -- окіл точки x, крім того . Отже, відображення (1) неперервне в точці x.
Наслідок.
Для того, щоб відображення (1) було неперервним, необхідно і достатньо, щоб повний прообраз будь якої замкненої множини був множиною замкненою.
За теоремою легко доводяться наступні твердження:
Нехай X, Y, Z – топологічні простори. Якщо і неперервні, то -- неперервне.
Якщо відображення (1) неперервне, то для будь якої M X відображення fm:M Y- неперервні. Це виникає з (1), якщо враховувати, що fm = fe, де e: відображення, при якому образ кожної точки із М співпадає із самою точкою.
Зведення відображення (1) тоді і тільки тоді, коли відображення (1) неперервне.
Нехай - відображення при якому образ кожної точки із співпадає з самою точкою.
Очевидно, що , тому якщо неперервне, то з (1) слідує, що -- неперервне. Обернене твердження очевидне.
Гомеоморфізми.
Нехай Х і У – топологічні простори.
Відображення (1) простору Х на простір У називається топологічним, якщо воно взаємно однозначне і крім того відображення і -1 : неперервні.
Топологічні відображення точок називається гомеоморфізмами назва від грецьких слів «омео»- однаковий і «морф»- форма. Найпростішим прикладом гомеоморфізми є тотожнє відображення при якому кожна точка множини Х переходить сама в себе.
Розглянемо ще один приклад:
Нехай Х та У – числові інтервали,
, де a і b – дійсні числа, .
Очевидно х, у – метричні простори, значить тотожні.
Легко перевірити, що відображення у = (b-a)х + а є типологічним.
Безпосередньо з поняття гомеоморфізму слідує:
Якщо відображення є топологічним, то відображення також є топологічним.
З прикладу 2 випливає, що:
Якщо і є гомеоморфізмами, то є гомеоморфізмом.
Топологічний простір Х називається гомеоморфним топологічному простору Y, якщо існує такий гомеоморфізм, при якому Х переходить в Y.
Із властивостей 1.2 слідує, що відношення гомеоморфності топологічних просторів рефлексивне, симетричні і транзитивне, тобто є відношенням співвідношеності.
Поняття гомеоморфізму легко може бути застосованим на множині точок, що належать топологічним просторам.
Нехай R1 і R2 – топологічні простори, а , -- довільні множини точок цих просторів.
Відображення (1) називається неперервним в точках х, якщо для будь якого околу точки в R2 існує окіл точки х в R1 такий, що образи всіх точок з належать аналізу .
Відображення (1) називається неперервним, якщо воно неперервне в усіх точках множини Х.
Взаємно однозначне відображення (1) множини Х на множину Y називається топологічним або гомеоморфічним, якщо відображення (1) і неперервні.
Якщо існує гомеоморфізм множини Х на множину Y, то множини Х та Y називаються гомеоморфічними.
Щоб з’ясувати чи дві множини гомеоморфні, достатньо знайти хоча б одне топологічне відображення Х на Y.
Якщо, наприклад, при топологічному відображенні маємо , то Х і Y гомеоморфні.
Складніше з’ясувати, що дві множини не гомеоморфні. Тут бувають корисними топологічні інваріанти.
Топологічним інваріантом (тополог. властивістю) називають будь-яку властивість, інваріантну відносно будь-якого топологічного відображення.
Враховуючи теорему, топологічні відображення є взаємно неперервні, робимо наступний висновок:
Властивість множини бути відкритою (або замкнутою) є топологічний інваріант.
Якщо у множини Х деякий топологічний інваріант присутній, а у множини Y той же інваріант відсутній, то множини Х і Y не можуть бути гомеоморфним.
Гомеоморфні множини топологічно інваріантні, з точки зору топології вони не відрізняються одна від одної.
Вивчаючи топологію будь-якого топологічного простору R ми будемо мати справу з топологічним перетворенням (відображення на себе) множини R. Ці перетворення очевидно утворять групу.