Друга квадратична форма поверхні

Нехай дано поверхню, яка задається векторно , нехай P(U,V) довільна точка, одиничний вектор.

Другою квадратичною формою поверхні (1) називається вираз і позначається .

=

знайдемо їхній скалярний добуток

= *

L=

2M=

N=

таким чином друга квадратична форма :

- загальний запис другої квадратичної форми

де L,N,M – коефіцієнти Гауса другої квадратичної форми.

Покажемо тепер, що друга квадратична форма , запишемо вираз для одиничного вектора нормалі:

розглянемо вираз , так як лежить в дотичній площині, візьмемо диференціал від правої і лівої частини:

отже

знайдемо тепер :

обчислимо другу квадратичну форму:

=

=

L=

M=

N=

Розглянемо випадок маємо

Кривизна кривої на поверхні Нормальна кривизна поверхні Теорема Меньє

Розглянемо регулярну, принаймні двічі неперервно-диференційовну поверхню: (1)

і нехай на даній поверхні задано криву лінію: (2), тоді для кривої лінії (2) мають місце формули Френе, розглянемо першу з них: (3)

т .Р є

знайдемо зовнішнє рівняння кривої (2):

(4)

із (3) і (4) отримаємо:

=

домножимо праву і ліву частину на вектор :

(5)

Вираз назвемо нормальною кривизною поверхні і позначимо

Для даної поверхні коефіцієнти Гауса, першої і другої квадратичних форм є сталі, а це означає, що права частина рівності (5) залежить тільки від напрямку на поверхні в даній точці.

= =const

остання рівність і виражає суть відомою теореми Меньє

Теорема Меньє

Нормальна кривизна поверхні в даному напрямку є величина стала.

З точністю до знаку чисельно нормальна кривизна поверхні в даному напрямку дорівнює кривизні нормального перерізу поверхні.

Нормальним перерізом поверхні називається переріз поверхні площиною, яка місить нормаль до поверхні в даній точці, причому площина проведена в даному напрямку.

Геодезична кривизна і її обчислення

Нехай задана поверхня , на ній розглянемо криву , т.Р є

п обудуємо в точці Р дотичну площину до поверхні,

зпроектуємо ліню на дотичну площину

і отримаємо .

Кривизну кривої назвемо геодезичною кривизною лінії на поверхню.

Між кривизною кривої на поверхні, нормальною кривизною і геодезичною кривизною поверхні, існує співвідношення:

Головні кривизни на поверхні

Нехай дано поверхню (1)

Головними кривизнами на поверхні називаються екстремальні значення нормальної кривизни поверхні.

Для того, щоб визначити головні кривизни поверхні скористаємось формулою для визначення нормальної кривизни : = , запишемо дону формулу в такому вигляді:

, про диференціюємо отриману рівність по du:

, про диференціюємо тепер цю саму рівність по dv:

, скоротимо отримані рівності на 2:

(2)

Система (2) є однорідною, причому du і dv не можуть одночасно дорівнювати нулю, тобто система (2) повинна мати ненульові розв’язки, а це можливо лише тоді, коли визначник системи дорівнює нулю.

(3)

із рівняння (3) визначимо нормальну кривизну, в загальному випадку (3) є квадратичним рівнянням і має два розв’язки, позначимо: - головні кривизни поверхні, запишемо (3) в такому вигляді:

Для останнього рівняння застосуємо теорему Вієтта, отримаємо:

поділимо праву і ліву частини рівності на 2:

Середньою кривизною поверхні (Н) називається пів сума головних кривизн:

Повною або Гаусовою кривизною поверхні називається добуток головних кривизн поверхні: