Векторна похідна

→

Похідною векторної функції r(t) в точці t_o називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, при у мові,що останній →0

→ → →

r (t + ∆t) = r(t) + ∆r(t) ;

→ → →

∆r(t) = r(t + ∆t) – r(t);

→ → →

∆r(t) r(t + ∆t) – r(t)

=

∆t ∆t

→ → →

∆r(t) r(t + ∆t) – r(t)

lim = lim

∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t

→

r′(t)

Теорема:

Якщо існують похідні функцій , то мають місце рівності:

1)

2)

3)

4)

Доведення:

Доведемо першу рівність

Отже .

Векторна первісна

Первісною векторної функції називається векторна функція

похідна якої дорівнює функції

Введемо в просторі ортонормовану систему координат (o, j, i, k), відносно якої розглянемо функцію .

Тоді функцію можна розкласти по базисних векторах:

, тоді координати:

Теорема:

Для того, щоб сталий вектор з координатами (а1, а2, а3) був границею векторної функції необхідно і достатньо щоб виконувались такі рівності:

(1)

Доведення:

(необхідність)

Вектор є границею векторної функції . Покажемо,що виконуються рівності (1).

, оскільки є границею,то за означенням:

, отже , а це означає що виконуються рівності (1).

(достатність)

Дано,що виконуються рівності (1). Доведемо,що вектор є границею , див. доведення в зворотному порядку.

Функція буде неперервною тільки тоді,коли функції також будуть неперервними.

Для того,щоб знайти похідну векторної функції скалярного аргументу в координатах потрібно знайти похідні кожної її координати

Візьмемо похідну правої і лівої частини

, отже

Годограф

Розглянемо функцію і зафіксуємо на площині т.О. Відкладемо вектори (надамо значення аргументу).

Годографом векторної функції скалярного аргументу називається геометричне місце точок простору, які є кінцями всіх векторів, відкладених від даної т.О

Векторні функції скалярного аргументу постійної

довжини і постійного напрямку

Нехай - вектор функція

Векторна функція називається векторною функцією постійної (сталої) довжини,якщо | | = const.

Теорема:

Для того щоб векторна функція була функцією постійної довжини необхідно і достатньо,щоб похідна була ортогональна до самого вектора .

Доведення:

(необхідність)

Дано,що | |= const

| |= = const, візьмемо похідну:

+ =0

2 *2 =0

=0 =>

(достатність)

Дано,що ,доведення див. в зворотному порядку.

Векторна функція називається векторною функцією постійного напрямку, якщо цю функцію можна представити в такому вигляді:

- скалярна функція,

е- одиничний вектор сталого напрямку

Теорема:

Для того,щоб вектор функція була векторною функцією постійного напрямку потрібно,щоб похідна її була колінеарною до самої функції.

Доведення:

Візьмемо похідну:

З першої рівності знайдемо е:

і підставимо, отримаємо

Поняття кривої лінії в евклідовому просторі

Способи параметризації кривих ліній

Поняття кривої лінії пройшло свій певний історичний шлях розвитку.

В певні періоди криву лінію трактували по різному. Під кривою розуміли кусок нитки, множину точок, координати яких задовольняють рівняння, як лінію перетину двох поверхонь.

Введемо поняття елементарної кривої. Для цього введемо поняття гомеоморфного (топологічного) відображення.

Відображення множини X в множину Y називається однозначним, якщо двом різним елементам множини X відповідають різні елементи множини Y.

Якщо при цьому відображення обернене до даного є також однозначним, то таке відображення називається взаємно однозначним.

Введемо тепер поняття неперервного відображення.

Відображення f називається неперервним в т.X, якщо при цьому т.X відображається в т.Y, а окіл т.X в окіл т. Y.

Відображення f називається непевним на множині Х, якщо воно є неперервним в кожній точці цієї множини.

Неперервне відображення f називається взаємно неперервним, якщо обернене до нього відображення є також неперервним.

Відображення, яке є одночасно взаємно однозначним і взаємно неперервним називається гомеоморфним (топологічним).

Введемо поняття елементарної кривої. Для цього розглянемо у просторі деякий відкритий відрізок:

Будемо відображати точки відрізка аb у простір за допомогою деякого топологічного відображення.

Введемо в просторі систему координат. Тоді точки будуть мати координати.

(1)

Ця множина точок і є элементарною кривою

Элементарною кривою у просторі називається геометричне місце точок, яке є образом відкритого відрізка, при гомеоморфному відображені його у простір.

Кривою лінією у просторі називається геометричний образ, який складається із скінченного числа елементарних кривих.

Рівності (1) називаються параметричними рівняннями кривої лінії.

Домножимо в рівностях (1), перше рівняння на , друге на і третє на

(2) (3)

(3) – векторно-параметричне рівняння

Припустимо, що в рівностях (1) нам вдалося одне із трьох рівнянь, наприклад перше, розв’язати відносно t. Тоді маємо:

=> => (4)

Криву лінію у просторі можна розглядати ще як лінію перетину двох поверхонь, в цьому випадку рівняння лінії мають такий вигляд:

(5)

Криву лінію у просторі можна задати як годограф векторної функції скалярного аргументу.

Крива лінія називається гладкою, якщо в рівностях (1) функції x, y, z є гладкими.

Крива лінія називається k- регулярною, якщо функції x, y, z, з рівності (1) є k- регулярні, тобто мають похідні включно до k-го порядку, причому модуль першої не дорівнює нулю.