Елементи тригранника Френе

Нехай у просторі задано деяку регулярну криву , зафіксуємо на ній деяку точку Р. З точкою Р, регулярної кривої, можна зв’язати такі елементи:

три криві:

- дотичну

- бінормаль

- головну нормаль

три площини:

- стична

- нормальна

- спрямна

Тригранником Френе кривої, у даній точці, називається конфігурація, яка складається із трьох прямих (дотичної, бінормалі, головної нормалі) і трьох площин (стичної, нормальної, спрямної).

Інколи його називають супроводжуючим тригранником кривої.

Дотична до кривої

Будемо розглядати у просторі криву лінію , задану векторним рівнянням.

(1)

т.Q- нескінченно близька до т.P

|PQ|=d - довжина

(Q,l)=h – відстань

Дотичною до кривої в т. Р називається пряма,яка проходить через т.Р,кривої, і для якої виконується така умова:

(2)

Теорема:

Всяка гладка крива у кожній своїй точці має дотичну, причому єдину.

Якщо - векторна параметризація кривої, то дотична паралельна до вектора

Доведення:

П рипустимо, що пряма l є дотичною до кривої (1) в т.Р.

Покажемо, що ця дотична паралельна до вектора . Для цього скористаємось означенням дотичної, тобто рівністю (2).

Нехай вектор - одиничний вектор, паралельний до дотичної | |=1

|PQ|=d

кут між векторами

Нехай т.О – початок просторової координат (полюс)

Тоді

Для знаходження h розглянемо модуль векторного добутку:

отже h=

Скористаємось рівністю (2):

Звідси випливає,що вектор колінеарний до вектора , вектор колінеарний до дотичної, отже і колінеарний до дотичної.

Єдиність дотичної випливає з того, що для похідна єдина.

Покажемо тепер, що всяка пряма, яка проходить через т.Р кривої, і паралельна до вектора є дотичною, тобто для неї виконується рівність (2).

=0, так як вектор ||

Знайдемо тепер рівняння дотичної для різних способів параметризації кривої

1) Нехай крива лінія задана векторним рівнянням (1)

побудуємо дотичну у т.Р₀

візьмемо довільну т.М

З маємо:

(3)

підставивши в (3), отримаємо:

- векторно-параметричне рівняння дотичної

2) Нехай тепер лінія задана параметрично (5)

нехай т.М (x,y,z), тоді і вектор

з рівності (4) отримаємо

(6) – параметричні рівняння дотичної

3) Припустимо, що задана рівнянням

визначивши у кожному з рівнянь (6) матимемо:

(7)- канонічне рівняння дотичної

4. Нехай тепер крива лінія задана так:

(8)

припустимо,що наша лінія задана параметрично:

тоді рівняння лінії запишеться так:

(9)

продиференціюємо по t

отже за напрямний вектор дотичної в даному випадку можна прийняти векторний добуток векторів a і b

- канонічне рівняння дотичної