- •Векторні функції скалярного аргументу і їх властивості
- •Границя векторних функцій
- •Tеорема:
- •Доведення:
- •Неперервність векторних функцій
- •Векторна похідна
- •Елементи тригранника Френе
- •Дотична до кривої
- •Теорема:
- •Доведення:
- •Нормальна площина кривої
- •Бінормаль кривої
- •Спрямна площина
- •Головна нормаль
- •Довжина дуги кривої Натуральна параметризація
- •Кривизна кривої
- •Теорема:
- •Доведення:
- •Натуральні рівняння кривої
- •Формули Френе
- •Доведення:
- •Плоскі криві
- •Лінія на поверхні
- •Дотична площина і нормаль до поверхні
- •Перша квадратична форма поверхні
- •Застосування першої квадратичної форми
- •Друга квадратична форма поверхні
- •Кривизна кривої на поверхні Нормальна кривизна поверхні Теорема Меньє
- •Теорема Меньє
- •Нормальна кривизна поверхні в даному напрямку є величина стала.
- •Геодезична кривизна і її обчислення
- •Головні кривизни на поверхні
- •Індикатриса кривизни Дюпена
- •Класифікація точок на поверхні:
- •Класифікація точок на основі поняття ідекатриси Дюпена
- •Класифікація точок поверхні на основі поняття Гаусової (повної) кривизни поверхні
- •Класифікація точок з використанням поняття стичного параболоїда поверхні
- •Поверхня обертання і її рівняння
- •Головні напрямки на поверхні
- •Асимптотичні напрямки на поверхні Асимптотичні лінії
- •Геодезичні напрямки на поверхні
- •Сферичне зображення області на поверхні Теорема Гауса
- •Теорема :
- •Ізометричні поверхні Згинання поверхні
- •Теорема Гауса-Бонне(без доведення)
- •Теорема Гауса-Бонне:
- •Топологічний простір
- •I. Об'єднання будь-якої кількості (скінченної або нескінченної) відкритих множин є відкрита множина.
- •II. Перетин будь-яких двох відкритих множин є відкрита множина.
- •Топологічні перетворення і їх властивості
- •Замкнені множини Граничні точки
- •3°. Перетин будь-якої системи (скінченої чи нескінченної) замкнених множин є замкнена множина.(якщо - сукупність замкнених множин, то множина замкнена).
- •4°. Множина м простору замкнена тоді і тільки тоді, коли вона містить всі свої граничні точки.
- •Кліткове розбиття поверхні Орієнтовні поверхні
- •Теорема Ейлера для многогранників
- •Приклади топологічно правильних многогранників
- •Топологічні властивості проективної площини
Замкнені множини Граничні точки
Множина М топологічного простору називається замкненою, якщо його доповнення є відкритою множиною, тобто якщо, .
Приклади.
1. Відрізок є замкненою множиною на прямій з природною топологією.
2. Множина натуральних чисел N – це замкнена множина на прямій R з природною топологією, оскільки - відкрита множина.
3. На дійсній прямій з природною топологією побудуємо так звану канторову множину: на першому кроці замкнений відрізок розділимо на три частини і виключимо середній інтервал ; на другому кроці кожен із решти відрізків розділимо на три частини і виключимо середні інтервали і і т. д. Точки, що залишилися на відрізку, утворюють канторову множину (це теорія фракталів). Легко побачити, що канторова множина – замкнена.
З цього визначення і аксіоми III безпосередньо випливає доведення
. Весь простір і порожня множина Ø є замкненими множинами.
Далі, оскільки , то з аксіоми II безпосередньо випливає доведення.
2°. Об'єднання будь-яких двох замкнених множин є замкнена множина. (Якщо - замкнені множини, то множина - теж замкнена)
Так як для для будь-якої (скінченої чи нескінченної) системи множин , то з аксіоми I отримуємо:
3°. Перетин будь-якої системи (скінченої чи нескінченної) замкнених множин є замкнена множина.(якщо - сукупність замкнених множин, то множина замкнена).
Означення. Точка а топологічного простору називається граничною точкою множини , якщо будь-який окіл точки а містить точку множини М, відмінну від а. (Точка називається граничною точкою множини, якщо в будь-якому околі точки а існують точки множини М, що відрізняються від а).
Множина граничних точок М позначається .
Відзначимо, що граничні точки множини не обов'язково належать самій множині. Точніше, має місце наступне твердження.
4°. Множина м простору замкнена тоді і тільки тоді, коли вона містить всі свої граничні точки.
Насправді, якщо М — замкнена множина, то — відкрита множина, тому, згідно теореми про всі точки відкритої множини, маємо, що будь-яка точка а цієї множини є внутрішньою точкою цієї множини і тому має хоч би один окіл , що цілком складається з точок множини . Таким чином, тому а не є граничною точкою множини М. Для доведення зворотного твердження досить показати, що відкрита множина. Але це твердження безпосередньо випливає з того, що будь-яка точка цієї множини не є граничною точкою множини М, тому має хоч би один окіл, - що цілком складається з точок множини
Точка а топологічного простору називається межовою точкою множини М, якщо в будь-якому її околі існують як точки множини М, так і точки множини R\М.
Множина всіх граничних точок називається границею множини. Множина всіх внутрішніх і межових точок множини М називається замиканням множини і позначається через .
З цього визначення безпосередньо випливає:
5°. Для будь-якої множини М маємо: .
6°. Якщо , то .
7°. Замикання будь-якої множини М є замкненою множиною.
Для обґрунтування останнього твердження досить показати, що відкрита множина. Але це твердження очевидно випливає з того, що множина не містить ні внутрішніх, ні граничних точок множини М, тому будь-яка його точка є внутрішньою.
8°. Якщо F замкнена множина і , то .
Справедливість цього твердження безпосередньо випливає з того факту, що R \F є відкритою множиною, тому жодна точка цієї множини не може бути ні внутрішньою, ні граничною точкою множини М.
З властивостей 5° і 8° випливає:
9°. Якщо М — замкнена множина, то .
Насправді, оскільки , то з 8° виходить, що . З іншого боку, з 5° випливає, що , тому .
Як наслідок із 7° і 8° отримуємо:
10°. Замикання множини М є перетин всіх замкнутих множин, що містять .