6.14.4. Законы рассеяния случайных величин

Появление определенного значения случайной величины нельзя определить заранее. Однако рассеяние случайных величин подчиняется определенным законам. Установлено, что закону нормального распределения случайных величин подчиняются погрешности измерений, высота микронеровностей обработанной поверхности, рассеяние размеров заготовок при обработке на металлорежущих станках и многое другое.

Дифференциальная функция распределения случайной величины нормального закона описывается уравнением:

Теоретическая кривая нормального распределения приведена на рис. 6.6.

Из вида кривой нормального распределения следует, что она симметрична относительно ординаты точки . Меньшие отклонения от среднего более вероятны, чем большие.

Положение кривой определяется параметрами и σ. Изменение центра группирования (которое можно рассматривать как действие систематической погрешности), не изменяет форму кривой (рис 6.7.)

Рис 6.7. Влияние систематической погрешности и среднего

Квадратичного отклонения на положение и форму кривой нормального распределения

При увеличении σ кривая становится более пологой и низкой, что свидетельствует о большем рассеянии результатов измерений и меньшей точности.

Интегральный закон нормального распределения определяется таким выражением:

Вероятность Р( <x < ) =1 представляет собой площадь под дифференциальной кривой нормального распределения. На практике обычно принимается, что на расстоянии ±3σ от центра группирования ветви кривой пересекаются с осью абсцисс. Возникающая при этом неточность составляет 0.27% и практического значения не имеет.

Если рассеяние случайных величин зависит от переменных систематических погрешностей, то распределение результатов измерений подчиняется закону равной вероятности (прямоугольника) Рис 6.8.)

Рис. 6.8. Дифференциальная функция

Равновероятного распределения. (a и b параметры распределения)

Площадь прямоугольника равна единице, что означает 100% вероятность появления результата измерений в диапазоне от a до b.

Математическое ожидание M(x) = (a+b)/2.

Среднее квадратичное отклонение σ = .

Закон Симпсона, при котором кривая имеет вид треугольника (рис. 7.1.2.) бывает справедлив при обработке деталей с точностью 7, 8 квалитетов или при распределении зазора в посадках с зазором, когда допуски вала и отверстия одинаковы.

Рис 6.9. Плотность вероятности случайной величины

При распределении по закону Симпсона

Математической ожидание, среднее квадратичное отклонение равны:

M(x) = a, σ = .

6.14.5. Обработка прямых многократных равноточных измерений

Методы обработки результатов измерений регламентированы ГОСТ 8.207-76.

Равноточность измерений сводится к тому, что измерения одного и того же параметра выполняется с одинаковой тщательностью при неизменных условиях. При этом необходимо, чтобы систематическая составляющая общей погрешности была устранена или имела меньший порядок малости. Порядок обработки результатов следующий:

1. Проводят измерение одного и того же параметра аттестуемым средством измерения, число которых должно быть больше 50. Результаты записывают в таблицу.

2. Исключают из результатов измерений грубые погрешности (промахи). При этом целесообразно использовать критерии Смирнова, Диксона и др ( Схиртладзе)

3. Определяют наибольшее X_max, наименьшее X_min опытное значение, размах варьирования R = X_max, – X_min.

4. Разбивают размах варьирования на равные 6-9 интервалов так, чтобы цена деления интервала была больше цены деления по шкале прибора.

5. Определяют количество случайных величин m (частота), значение которых находятся в определенном интервале и частность как отношение m/n. Результаты записывают в таблицу.

Интервал (свыше…до)	Частота mj	Частость mi m I =n/mj	Теоретическая частота	Критерий

6. Рассчитывают среднее арифметическое и среднее квадратичное S вышеприведенным формулам. Для наглядности в координатах X- m/n строят полигон рассеяния опытных величин.

7. Принимая σ = S и = M(x) по уравнению

,

где с – цена деления интервала, находят численное значение теоретического распределения (теоретическую частность) для каждого срединного значения интервала. Для наглядности может быть построена теоретическая кривая нормального распределения в тех же самых координатах.

8. Для каждого интервала определяют значение параметра

9. Сопоставляя суммарное значение для определенного уровня значимости и числа степеней свободы делается вывод о справедливости принятой гипотезы нормального рассеяния. По данным (схиртладзе) рекомендуется проверку гипотезы нормального распределения проводить так же по критерию «d».

Проверку гипотезы о нормальном распределении при малом числе измерений (менее 15) можно провести по методике, описанной в (Схиртладзе).

10. При подтверждении гипотезы нормального распределения определяют доверительный интервал:

Δ= ±t (k) S / ,

где t – коэффициент Стьюдента.

На практике выбирают доверительную вероятность Р=0.997.

Если гипотезу о нормальном распределении отвергают, то проводят проверку симметричности распределения по критерию Вилкоксона и ведут расчет с использованием медиан (Схиртладзе). Обработка результатов неравноточных измерений приведена в (Схиртладзе).