48. Множественное уравнение регрессии.

Математически корреляционная зависимость результативной переменной от нескольких факторных (объясняющих) переменных описывается уравнением множественной регрессии.

Уравнение множественной регрессии характеризует среднее изменение у с изменением признаков-факторов:

,

,

где j – номер фактора; k – число факторов, включенных в уравнение множественной регрессии.

При построении уравнения множественной рецессии нужно решить две задачи:

- выбрать признаки-факторы, включенные в регрессию;

- выбрать тип уравнения регрессии.

Решение первой задачи основывается, прежде всего, на рассмотрении матрицы коэффициентов корреляции и выделении тех переменных, для которых > (i≠j). Кроме того, не рекомендуется совместно включать во множественную регрессию объясняющие переменные, тесно связанные между собой: при > 0,7 переменные х_j и x_i дублируют друг друга и совместное включение их в уравнение регрессии не дает дополнительной информации для объяснения вариации у. Линейно связанные переменные называются коллинеарными.

Решение второй задачи основывается на соотношениях простоты и интерпретируемости результатов многофакторного регрессионного анализа. Исходя из этого, чаще всего используют линейное уравнение множественной регрессии.

Параметры уравнения парной регрессии находятся с помощью методов наименьших квадратов (МНК).

Свободный член уравнения а рассчитывается по формуле:

.

В отличие от коэффициентов регрессии в натуральном масштабе b_j, которые нельзя сравнивать, стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать, а также можно делать вывод, влияние какого фактора на у значительнее. Они рассчитываются по формуле:

.

Они определяют, на какую часть своего среднеквадратического отклонения изменится у при изменении х_j на одно среднее квадратическое отклонение.

Такую же возможность дают и коэффициенты эластичности Э_j, которые показывают на сколько процентов изменится у при изменении х_j на 1 %.

.

49. Частная и множественная корреляция.

Поскольку на изучаемый результативный признак влияет не один факторный признак, а множество, то возникает задача изолированного измерения тесноты связи результативного признака с каждым из признаков-факторов при элиминировании других признаков-факторов, а также задача измерения тесноты связи между результативными признаками и всеми признаками-факторами, включенными в анализ.

Основой решения этих задач служит матрица коэффициентов парной корреляции.

Коэффициент частной детерминации переменной x_k — это доля дисперсии у, дополнительно объясняемой при включении перемен­ной x_k, в величине дисперсии у, не объясненной ранее включенными в анализ переменными.

Коэффициент множественной детерминации показывает, какая часть дисперсии результативной переменной у объясняется за счет учтенных в анализе факторных признаков. Этот показатель изменяется в интервале [0, 1]:

,

где — дисперсия переменной у, объясненная факторными переменными, включенными в анализ; — общая дисперсия переменной у.

Извлекая корень квадратный из R², получаем коэффициент множественной (или совокупной) корреляции у со всеми учтенными переменными х₁... x_k.

Главное назначение коэффициентов частной детерминации — определить, имеет ли смысл введение в уравнение регрессии дополнительной объясняющей переменной или нет.

Назначение коэффициента множественной корреляции (или множественной детерминации) состоит в оценке качества уровня множественной регрессии: чем больше значение R, чем ближе оно к единице, тем лучше уравнение регрессии, тем надежнее результаты анализа или прогноза на его основе.

В случае влияния двух факторов для расчета совокупного коэффициента множественной детерминации можно воспользоваться формулой:

.