22. Показатели вариации и методы их расчёта.

Для целей анализа и сравнительной хар-ки различных рядов распределения применяются обобщающие показатели вариационного ряда. Эти показатели представляют целую систему и каждая из групп этих показателей по-своему хар-зует распределения.

Группы показателей вариации:

• показатели центра распределения;

• показатели степени вариации;

• показатели формы распределения.

Показатели центра распределения:

• ср. арифметич. величина,

• мода

• медиана

• др. показатели, характеризующие структуру вариационного ряда.

Показатели степени вариации:

Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака:

где — наибольшее значение варьирующего признака; — наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение (d) представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней:

— невзвешенное среднее линейное отклонение;

— взвешенное среднее линейное отклонение,

где — i-й вариант осредняемого признака, — вес i-го варианта.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней вели­чины:

— невзвешенная;

— взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней величины:

— невзвешенное;

— взвешенное.

Все перечисленные показатели, кроме дисперсии, явл. именованными величинами.

Для оценки интенсивности вариации и для сравнения с др. совокупностями и др. признаками рассчитываются относительные показатели вариации:

- коэффициент осцилляции:

- линейный коэффициент вариации:

- коэффициент вариации:

Показатели формы распределения:

Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии (Аs):

где — средняя арифметическая ряда распределения; — мода; — среднее квадратическое отклонение.

При симметричном (нормальном) распределении = Мо, следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю.

Если Аs > 0, то больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асимметрия.

Если As < 0, то меньше моды, следовательно, имеется левосторонняя асимметрия.

Коэффициент асимметрии может изменяться от -3 до +3.

В практических расчетах часто в качестве показателя асимметрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е.

Для симметричных распределений может быть также рассчитан показатель эксцесса, характеризующий крутизну распределения:

где — центральный момент четвертого порядка.

При симметричном распределении = 0.

Если > 0, распределение является островершинным; если < 0 — плос­ковершинным.

23. Дисперсия, её св-ва и методы расчёта. Дисперсия альтернативного признака.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней вели­чины:

— невзвешенная;

— взвешенная.

Различают 3 вида дисперсий:

1. Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

или

.

2. Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

где — ср. значение признака у в j-й группе; — ср. значение признака у в совокупности; — число единиц в j-й группе.

3. Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки:

где — значение признака у для i-й единицы в j-й группе.

Внутригрупповые дисперсии, рассчитанные для отдельных групп, объединяются в средней величине внутригрупповой дисперсии:

Св-ва дисперсии:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Среди варьирующих признаков, которые изучает ст-ка, встречаются признаки вариации, которые проявляются в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, у других нет. Признаки, которыми обладают данные единицы и не обладают другие, называются альтернативными.

Среднее значение альтернативного признака равно доле, которая является обобщающей характеристикой совокупности по этому варьирующему признаку. Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли на дополняющее эту долю до единицы число:

, т.к. q =1- р.